두 변과 끼인각을 먼저 읽는 금정동고2수학과외
금정가구거리와 신환아파트 생활권에서 귀가 후 과제를 확인할 때, 삼각형 문제는 계산량보다 주어진 정보의 배열을 먼저 읽어야 한다. 특히 흥진고등학교와 군포고등학교의 고2 수학 학습에서는 두 변과 그 사이의 각이 주어졌는지에 따라 사용할 법칙이 달라진다.
3, 5, 60°에서 사인법칙을 고른 순간
다음과 같이 두 변의 길이와 끼인각이 주어졌다고 하자.
AB=3, AC=5, ∠A=60°
구하려는 변이 BC라면, BC는 주어진 두 변의 끼인각 A의 맞은편에 있다. 따라서 코사인법칙을 적용한다.
BC2=AB2+AC2−2·AB·AC·cos A
즉,
BC2=32+52−2·3·5·cos60°=9+25−30·1⁄2=19
그러므로 BC=√19이다.
오답표에는 이 자리에서 사인법칙을 먼저 적은 풀이가 남아 있었다. 하지만 사인법칙은 보통 한 변과 그 맞은편 각의 쌍이 주어져야 연결할 수 있다. 이 문제에는 각 A와 변 BC의 쌍이 주어지지 않았으므로, sin A를 알고 있다는 이유만으로 사인법칙을 시작할 수 없다. 계산을 먼저 진행한 것이 아니라, 변과 각의 대응 및 끼인각 여부를 확인하는 단계가 빠진 것이다.
풀이가 끊긴 줄에서 대응 관계를 복구하기
처음부터 답안을 베껴 쓰지 않고, 잘못된 법칙을 적은 줄에서 연필을 멈춘다. 그 줄 옆에 다음 세 가지를 표시한다.
- 주어진 변: AB=3, AC=5
- 두 변 사이의 각: ∠A=60°
- 그 각의 맞은편 변: BC
그다음 “두 변과 끼인각 → 코사인법칙”이라고 적고, 바로 다음 줄에
BC2=32+52−2·3·5·cos60°
를 이어 쓴다. 이 과정을 통해 법칙 선택이 계산 뒤가 아니라 계산 전에 이루어지는지 확인한다. 코사인법칙은 삼각형의 세 변이 실제로 성립하는 상황에서 사용되며, 이 경우 √19는 |5−3|보다 크고 5+3보다 작으므로 가능한 변의 길이이기도 하다.
코사인값이 범위를 벗어나면 삼각형부터 의심하기
새로운 조건으로 AB=2, AC=3, BC=6일 때 ∠A를 구해 보자. 이번에는 세 변이 주어졌으므로 코사인법칙을 각도 계산에 사용한다.
BC2=AB2+AC2−2·AB·AC·cos A
값을 대입하면
36=4+9−12cos A
따라서
cos A=−23⁄12
그런데 실수 각의 코사인값은 −1 이상 1 이하이어야 하므로 −23/12는 허용되지 않는다. 따라서 각도를 억지로 계산하지 말고, 주어진 세 변으로는 삼각형이 성립하지 않는다고 판정해야 한다. 특히 2+3<6이므로 삼각형의 변 조건도 만족하지 않는다.
이처럼 새로운 문제에서는 숫자만 계산하지 않고, 먼저 변과 각의 대응을 표시한 뒤 코사인값의 범위와 삼각형 성립 여부까지 확인해야 한다. 귀가 시각이 늦어져 풀이 시간이 짧은 날에도 이 세 줄을 남기면 잘못된 법칙을 고른 채 계산을 밀어붙이는 오류를 줄일 수 있다.