구로구 고3 수학과외: 표의 조건을 읽고 로그 합성함수 미분하기
구로고등학교, 경인고등학교, 우신고등학교, 신도림고등학교 등이 있는 구로구에서는 귀가 뒤 과제와 시험 준비 순서를 함께 점검하는 것이 중요하다. 이번 사례의 학생은 표로 제시된 함수 정보를 이용해 ln x의 미분을 적용했지만, 새 조건에 맞지 않는 후보까지 남기는 실수를 반복했다.
표에 있는 값보다 먼저 확인할 함수 구조
문제에는 함수 \(f(x)=\ln g(x)\)가 제시되고, 다음과 같은 값이 표에 주어졌다고 하자.
- \(g(1)=3\)
- \(g'(1)=2\)
- \(g(x)>0\)인 구간에서 \(f'(1)\)을 구한다.
학생은 \(\ln x\)의 미분이 \(1/x\)라는 사실만 적용해
오답: \(f'(1)=\frac{1}{g(1)}=\frac13\)
이라고 적었다. 이 식은 바깥 함수의 미분만 반영하고 안쪽 함수 \(g(x)\)의 변화율을 빠뜨렸으므로 틀렸다. 합성함수의 미분은
\(f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}\)
이다. 따라서 표의 두 조건을 함께 사용하면
\[ f'(1)=\frac{g'(1)}{g(1)}=\frac{2}{3} \]
이 된다. 학생은 풀이 왼쪽 여백에 ‘연쇄법칙 누락’이라고 표시한 뒤, \(g'(1)=2\)를 대입하지 않은 줄에 밑줄을 그었다. 이어 원래 형태를 다시 써서
\[ \frac{d}{dx}\ln(g(x))=\frac{1}{g(x)}\cdot g'(x) \]
로 수정하고, \(g(1)=3,\ g'(1)=2\)를 대입해 \(\frac23\)인지 확인했다.
후보 답을 조건으로 걸러 내는 과정
표에 \(g(1)=3\), \(g'(1)=2\), \(g(x)>0\)가 함께 있다면 \(\frac13\), \(\frac23\), \(\frac32\)를 모두 답 후보로 남겨 두면 안 된다. \(\frac13\)은 \(g'(1)\)을 누락한 값이고, \(\frac32\)는 분자와 분모를 뒤집은 값이다. 학생은 각 후보 옆에 ‘미분계수 누락’, ‘분수 역전’이라고 오류 종류를 적고, 미분 공식에 다시 대입했다.
또한 \(g(1)=3>0\)이므로 로그의 정의역 조건도 충족한다. 계산 결과가 양수라는 사실만으로 정의역이 자동으로 보장되는 것은 아니지만, 이 문제의 주어진 점 \(x=1\)에서는 \(g(1)>0\)을 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 함수로 바꾸어 확인했다.
\[ F(x)=\ln(x-2),\qquad x>2 \]
학생의 첫 오답은
오답: \(F'(x)=\frac1{x-2}\), 정의역은 \(x\ne2\)
이다. 미분식 자체는 연쇄법칙에서 \(u=x-2\), \(u'=1\)을 적용하면 맞지만, 정의역을 \(x\ne2\)로 쓴 부분은 틀렸다. 로그의 진짜 조건은
\[ x-2>0\quad\Longrightarrow\quad x>2 \]
이다. 따라서 정확한 답은
\[ F'(x)=\frac{1}{x-2},\qquad \text{정의역 }x>2 \]
이다. 학생은 ‘정의역 누락’이라고 표시한 뒤 \(x=1\)을 대입해 \(\ln(-1)\)이 실수에서 정의되지 않음을 확인했다. 반대로 \(x=5\)를 대입하면 \(F'(5)=\frac13\)으로 계산되어 수정한 식과 조건이 함께 맞는지 검산할 수 있다.
이처럼 표현이 \(\ln g(x)\)에서 \(\ln(x-2)\)로 달라져도, 안쪽 함수의 값과 도함수, 로그의 정의역을 차례로 확인하면 후보를 근거 없이 남기지 않고 정확한 미분식으로 좁힐 수 있다.