구로구고2수학과외

구로구 고2수학과외에서 다루는 로그의 곱과 몫, 기호가 바뀌는 순간

구로역과 구로디지털단지 인근에서 학교 과제와 지필평가를 함께 준비할 때는 로그법칙을 외운 뒤 숫자만 계산하는 풀이보다, 식의 구조가 어떻게 바뀌는지 확인하는 과정이 중요하다. 특히 귀가 후 짧은 시간에 문제를 풀다 보면 이전 문제의 전개를 그대로 옮겨 적어 곱과 몫을 혼동하기 쉽다.

log₂3+log₂5를 log₂8로 바꾼 이유

풀이 기록에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.

log₂3+log₂5=log₂8

그러나 로그의 곱셈 법칙은 밑이 같을 때

log_aM+log_aN=log_a(MN)

이므로, 올바른 변환은

log₂3+log₂5=log₂(3×5)=log₂15

이다. 3+5=8이라는 덧셈의 결과를 진수에 넣은 것이 오류이며, 로그의 합은 진수의 합이 아니라 진수의 곱으로 합쳐진다. 2>0, 2≠1이고 3, 5>0이므로 이 로그식은 정의된다.

계수는 진수의 지수로 옮겨야 한다

곱과 몫이 함께 있는 식에서는 계수와 부호까지 구분해야 한다. 예를 들어

2log₂3-log₂5

는 먼저 계수를 지수로 바꾸어

log₂(3²)-log₂5

로 만든다. 그다음 로그의 차는 몫의 로그이므로

log₂(9/5)

가 된다. 따라서 2log₂3-log₂5를 log₂(2·3-5)처럼 처리하거나 log₂(3²×5)로 바꾸면 계수와 마이너스의 의미를 모두 놓친 것이다.

잘못된 줄과 수정한 줄을 나란히 놓기

두 줄에서 달라진 기호는 +와 ×이다. 이 표시를 남긴 뒤 다음 식을 이어서 처리한다.

log₂15-log₂5=log₂(15/5)=log₂3

훈련할 때는 정답만 다시 쓰지 않고, 매 변환 줄에서 “합이면 곱, 차이면 몫”을 식 안에 직접 남긴다. 계수가 있으면 3log₂4=log₂(4³)처럼 지수 변환을 먼저 기록한다.

힌트 없이 구조가 유지되는지 확인하는 식

이후에는 다음 문제를 제시하고 중간 힌트를 주지 않는다.

log₃18+2log₃2-log₃4

스스로 변환하면

log₃18+log₃(2²)-log₃4

=log₃(18×4/4)=log₃18

이때 막힌 위치를 지우지 말고, 계수 변환에서 멈췄는지, 합을 곱으로 합치는 단계에서 멈췄는지 스스로 표시한다. 3>0, 3≠1이며 각 진수도 양수이므로 로그법칙을 적용할 조건도 충족한다. 새로운 밑과 계수에서도 같은 순서를 혼자 세웠다면, 이전 풀이를 기계적으로 복사하지 않고 곱·몫의 관계를 적용한 것으로 확인할 수 있다.