천왕동고3수학과외

천왕동 고3 수학과외에서 합성 로그함수의 구조 점검하기

천왕동 천왕이펜하우스 생활권의 고3 학생은 평일 귀가 시간과 구로구 통학권 학교의 시험 범위를 함께 고려해 미분 문제를 연습하고 있다. 최근에는 로그함수 단원에서 계산 속도보다 합성 구조와 정의역을 먼저 확인하는 습관을 만드는 데 집중했다.

안쪽 함수의 미분을 빠뜨린 오답

학생이 다음 식을 미분했다.

y = ln(x²+1)

학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

y' = 1⁄x²+1

이 식은 오답이다. ln u의 미분은 1/u가 아니라 u'⁄u이므로, 안쪽 함수 u=x²+1의 미분 2x를 곱해야 한다.

따라서 정확한 결과는 다음과 같다.

u=x²+1,　u'=2x
y' = u'⁄u = 2x⁄x²+1

정의역과 부호까지 함께 확인하는 재풀이

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 로그의 진수와 안쪽 함수의 관계를 먼저 적었다.

• 진수 x²+1은 모든 실수 x에서 양수이므로 정의역은 실수 전체이다.
• 안쪽 함수의 변화율은 (x²+1)'=2x이다.
• 로그함수의 미분 공식에 안쪽 미분을 곱한다.

x=1을 대입하면 수정한 도함수는 1이 된다.

2(1)⁄1²+1 = 1

반면 오답식은 x=1에서 1/2이므로 두 결과가 다르다. x=0에서는 수정한 도함수와 오답식이 각각 0과 1이 되어, 안쪽 함수의 미분을 빠뜨린 오류가 분명해진다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 유형을 반복하지 않기 위해 진수와 계수를 바꾸어 다음 문제를 풀었다.

y = ln(3x²-2x+5)

진수는 판별식이 (-2)²-4·3·5=-56으로 음수이고 최고차항 계수가 양수이므로 모든 실수 x에서 양수이다. 따라서 정의역은 실수 전체다.

u=3x²-2x+5,　u'=6x-2
y' = 6x-2⁄3x²-2x+5

x=1을 대입한 검산 결과는

y'(1)=6-2⁄3-2+5=4⁄6=2⁄3

이다. 학생은 이제 로그 미분 문제에서 진수 확인 → 안쪽 함수 설정 → 안쪽 미분 → 대입 검산을 한 줄씩 기록하며, 계산 전에 합성 구조를 확인하는 풀이를 재현하고 있다.