천왕동고2수학과외, 상용로그의 부호와 자릿수 조건을 함께 확인하는 풀이
천왕동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 구로구의 경인고등학교·구로고등학교·우신고등학교·신도림고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 삼아 학교별 시험 범위와 귀가 시간에 맞춰 풀이 기록을 점검할 수 있다. 이때 상용로그 문제는 계산 결과만 적는 것보다 밑과 진수의 조건, 로그값의 부호를 답안에 남기는 일이 먼저다.
log 0.01을 2로 적은 순간 생긴 오류
다음 문제의 풀이 흔적에서 오류가 발견되었다.
문제: 상용로그를 이용하여 log 0.01의 값을 구하고, 0.01이 어떤 거듭제곱인지 나타내어라.
학생의 기록은 다음과 같았다.
log 0.01 = 2, 0.01 = 102
상용로그는 밑이 10인 로그이므로
log 0.01 = log10(0.01)
로그의 진수는 양수여야 하며, 0.01 > 0이므로 계산할 수 있다. 그런데
0.01 = 1/100 = 10-2
이므로 올바른 중간식은
log 0.01 = log10(10-2) = -2
이다. 0.01은 1보다 작으므로 상용로그값이 음수라는 점도 결과를 검산하는 기준이 된다. 첫 기호인 등호 뒤에 양의 수 2가 나온 순간, 0.01의 크기와 맞지 않는다는 것을 확인했어야 한다.
자릿수 공식은 양의 정수에서 범위를 먼저 세운다
양의 정수 N이 n자리라는 뜻은
10n-1 ≤ N < 10n
이다. 양변에 상용로그를 취하면
n - 1 ≤ log N < n
을 얻는다. 이때 N은 양의 정수여야 하고, 상용로그의 밑은 10으로 고정되어 있다. 예를 들어 N=4380이면
103 ≤ 4380 < 104
이므로 네 자리 수이다. 로그로 표현하면
3 ≤ log 4380 < 4
가 성립한다. 여기서 로그값의 정수 부분이 3이라고 해서 자릿수가 3자리가 되는 것이 아니라, 자릿수는 그 정수 부분에 1을 더한 4자리다.
답안에 남겨야 할 세 줄
상용로그와 자릿수 문제에서는 다음 순서를 답안에 고정해 적는다.
밑: 10 > 0, 10 ≠ 1진수: N > 0N을 10의 거듭제곱으로 변환한 뒤 로그값의 부호와 범위를 확인
특히 log 0.01처럼 1보다 작은 수가 나오면
0 < 0.01 < 1 이므로 log 0.01 < 0
을 먼저 적고, 이어서
0.01 = 10-2 → log 0.01 = -2
로 연결한다. 풀이 중 틀린 기호가 나오면 그 기호에 표시한 뒤 바로 아래에 올바른 중간식을 다시 써야 한다. 이렇게 해야 계산 결과만 고치는 것이 아니라 부호가 바뀐 이유까지 확인할 수 있다.
부호가 바뀐 조건에서 다시 확인하기
다음 조건을 새로 적용한다.
10-3 < x < 10-2
상용로그 함수는 밑이 10이므로 증가한다. 따라서 부등호 방향은 그대로 유지되어
log(10-3) < log x < log(10-2)
즉
-3 < log x < -2
이다. 여기서도 양의 진수 조건 x > 0이 만족되며, 로그값 전체가 음수라는 사실이 원래 범위와 일치한다. 새로운 수를 대입하지 않고도 밑, 진수, 거듭제곱의 지수, 부호를 차례로 확인했다면 상용로그의 자릿수 판단이 조건이 바뀐 문제에서도 유지된 것으로 볼 수 있다.