정의역을 먼저 확인하는 로그함수 미분 연습
화양동의 건국대학교사범대학부속고등학교를 포함해 광진구의 고3 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 서로 다를 수 있다. 이 학생은 수업 중 풀이를 시작할 때 교사의 질문을 기다린 뒤 같은 계산을 반복하는 경향이 있어, 미분 공식보다 먼저 함수의 조건을 기록하는 연습을 진행했다.
최초 오류는 공식 선택 전의 정의역 누락
문제는 함수 \(f(x)=\ln x\)의 도함수를 구하고 \(x=-2\)에서의 값을 판단하라는 것이었다. 학생은 다음과 같이 풀이했다.
\(f(x)=\ln x\)
\(f'(x)=\dfrac{1}{x}\)
\(f'(-2)=-\dfrac{1}{2}\)
오답은 \(f'(x)=1/x\)라는 공식 자체가 아니라, \(\ln x\)의 정의역이 \(x>0\)이라는 조건을 확인하지 않고 \(x=-2\)를 대입한 것이다. 따라서 \(f(-2)\)가 실수 범위에서 정의되지 않으며, \(f'(-2)\)도 존재하지 않는다. \(x\le 0\)에서 \(\ln x\)의 미분식을 그대로 사용하는 것은 잘못이다.
계수와 합성함수 조건까지 분리해 기록하기
학생은 틀린 줄 왼쪽에 “정의역 확인 누락”이라고 표시했다. 그다음 문자 메모로 안쪽 식 \(u=x\), 조건 \(u>0\)을 적고, 공식 선택과 대입을 분리했다.
- \(u=x\)이므로 \(u>0\), 즉 \(x>0\)
- \(\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u'}{u}\)
- \(u'=1\)이므로 \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\), 단 \(x>0\)
경계값도 직접 확인했다. \(x=0\)에서는 \(\ln 0\)이 정의되지 않고, \(x=-2\)에서도 실수 로그값이 없으므로 두 값 모두 대입할 수 없다. 반대로 \(x=3\)을 넣으면 \(f'(3)=1/3\)이고, 이는 \(x>0\) 조건과 일치한다.
새로운 안쪽 식으로 독립 검증
같은 개념을 반복하지 않기 위해 다음 문제를 풀었다.
\(g(x)=\ln(2x-3)\)의 정의역과 \(g'(4)\)를 구하여라.
안쪽 식을 \(u=2x-3\)으로 두면 로그의 조건은 \(u>0\)이다.
\[ 2x-3>0 \Rightarrow x>\frac{3}{2} \]
따라서
\[ g'(x)=\frac{u'}{u}=\frac{2}{2x-3}\quad\left(x>\frac{3}{2}\right) \]
검산하면
\[ g'(4)=\frac{2}{8-3}=\frac{2}{5} \]
경계 \(x=\frac{3}{2}\)에서는 로그의 안쪽이 \(0\)이므로 허용되지 않는다. 이처럼 학생은 미분계수 계산 전에 안쪽 식의 부호와 정의역을 먼저 적어, 공식 적용이 가능한 범위를 확인하는 방식으로 풀이를 수정했다.