화양동고2수학과외

화양동고2수학과외에서 추적한 로그법칙의 한 줄 누락

건국대학교사범대학부속고등학교의 학교 프린트와 지필평가를 함께 준비하는 과정에서는 답만 맞히는 것보다 식이 변형된 근거를 남기는 일이 중요하다. 화양동에는 해당 주소 기준 고등학교가 1곳이며, 광남고·자양고 등은 같은 광진구의 참고 학교이므로 학교별 주간 학습 일정에 따라 풀이 점검 시점을 달리할 수 있다.

log₂3+log₂5를 log₂8로 바꾼 이유

학생의 답안에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.

log₂3+log₂5 = log₂8

이 변형은 두 진수 3과 5를 더한 것이다. 그러나 로그의 곱셈 법칙은 진수를 더하는 법칙이 아니라 곱하는 법칙이다.

log_aM+log_aN=log_a(MN)

따라서 올바른 계산은

log₂3+log₂5 =log₂(3×5) =log₂15

이다. 밑 2는 0보다 크고 1이 아니며, 진수 3·5·15도 양수이므로 로그 조건에도 문제가 없다. 학생이 법칙을 적용한 줄을 생략하면서 ‘더하기 기호와 진수의 더하기’를 연결한 것이 오류의 출발점이었다.

몫의 로그에서는 나눗셈이 안쪽으로 들어간다

같은 기준을 다음 식에 적용해 보자.

log₃18−log₃2 =log₃(18÷2) =log₃9 =2

여기서도 법칙을 생략하고 진수를 뺀다고 생각하면 log₃(18−2)=log₃16이라는 잘못된 식이 된다. 로그의 차는 진수의 차가 아니라 진수의 몫으로 바뀐다.

수정할 때는 답안에 반드시 한 줄을 남긴다.

합 → 진수의 곱, 차 → 진수의 몫
log_aM+log_aN=log_a(MN)
log_aM−log_aN=log_a(M/N)

숫자를 대입해 변형이 보존되는지 확인하기

잘못된 식이 실제로 같은 값을 만드는지 확인하려면 간단한 밑과 진수를 대입한다.

log₂3+log₂5 =log₂15

반면 log₂8은 3이다. 3×5=15이므로 log₂15와 log₂8은 같지 않다. 이 대입 검산을 통해 변형 전후의 값이 보존되지 않았음을 확인할 수 있다.

문자를 넣어 법칙을 일반화하는 점검

수치에 의존하지 않도록 양수인 문자 p, q와 밑 a를 사용한다.

log_ap+log_aq =log_a(pq),   p>0,\ q>0,\ a>0,\ a≠1

log_ap−log_aq =log_a(p/q),   p>0,\ q>0

문자식에서도 진수를 더하거나 빼지 않고 곱과 몫으로 묶는지 확인하면, 숫자가 바뀌어도 같은 판단을 유지할 수 있다.

계수와 문자가 바뀐 로그식 검증

마지막으로 다음 식을 별도의 문제로 확인한다.

2log₅u−log₅v

먼저 계수는 거듭제곱으로 바꾼다.

2log₅u=log₅u²

그 뒤 몫의 법칙을 적용하면

2log₅u−log₅v =log₅u²−log₅v =log₅(u²/v)

단, 원래 로그가 존재하려면 u>0, v>0이어야 한다. 이 문제에서 log₅(u²−v)로 적었다면 진수의 뺄셈으로 바꾼 것이므로 틀리며, u²/v가 원래 두 로그의 관계를 보존하는 표현이다.