자양동 고3 수학과외에서 확인한 지수함수 미분의 조건 읽기
자양동에서 자양고등학교와 광양고등학교로 통학하는 고3 학생은 중학교 때보다 이동 시간, 과제, 시험 범위가 함께 늘어나면서 풀이를 빨리 끝내려는 습관이 생기기 쉽다. 이 학생도 지수·로그 합성함수의 미분에서 계산은 진행했지만, 해의 존재 조건을 이전 문제의 경계값으로 처리하고 있었다.
경계값을 해로 착각한 풀이
다음 함수를 미분하고 f'(x)=2\ln2를 만족하는 실수 해를 구해 보자.
f(x)=\ln(2^{x+1}-3)
먼저 정의역은
2^{x+1}-3>0이므로 x>\log_2 3이다.
연쇄법칙을 적용하면
f'(x)=\frac{2^{x+1}\ln2}{2^{x+1}-3}
학생은 다음과 같이 계산했다.
\frac{2^{x+1}\ln2}{2^{x+1}-3}=2\ln2
2^{x+1}=2(2^{x+1}-3)
2^{x+1}=6
x=\log_2 3
이 답은 오답이다. 계산된 값 x=\log_2 3을 원래 정의역에 대입하면
2^{x+1}-3=2\cdot2^x-3=2\cdot3-3=3
처럼 보이지만, 위의 방정식에서 실제로 얻은 관계를 다시 확인해야 한다. 2^{x+1}=6이면 x+1=\log_2 6이므로 x=\log_2 3\이고, 이 값은 정의역에는 들어간다. 그러나 학생의 중간 계산에서 양변을 정리할 때
2^{x+1}=2(2^{x+1}-3)은 2^{x+1}=2^{x+2}-6이므로 2^{x+1}=6이 맞다. 따라서 이 예시는 해가 존재한다.
해가 없는 상황을 정확히 확인하기 위해 목표값을 3\ln2로 바꾸면
\frac{2^{x+1}\ln2}{2^{x+1}-3}=3\ln2
이고, 2^{x+1}=3(2^{x+1}-3)에서
2^{x+1}=\frac{9}{2}\
을 얻는다. 따라서 x=\log_2 9-2\이며, 이는 정의역 x>\log_2 3\을 만족하므로 역시 해가 있다.
식 옆에 규칙을 적고 후보를 검산하기
학생과는 먼저 틀린 줄에 표시를 하고, 각 줄 옆에 사용한 조건을 적게 했다.
- 로그 미분: \((\ln u)'=\frac{u'}u\), 단 \(u>0\)
- 지수 미분: \((a^x)'=a^x\ln a\), 단 \(a>0,\ a\ne1\)
- 정의역: \(2^{x+1}-3>0\)
그 뒤 후보값을 원래 식에 대입했다. 예를 들어 x=\log_2 3일 때
f'(x)=\frac{6\ln2}{3}=2\ln2
이므로 이 후보는 실제 해임을 확인할 수 있다. 반대로 정의역 경계인 x=\log_2 3-1\을 잘못 답으로 적으면
2^{x+1}-3=0
이 되어 로그가 정의되지 않는다. 따라서 경계값은 해가 아니라 제외되는 값이다.
밑이 \(1/2\)일 때의 독립 검증
같은 절차가 밑에 따라 바뀌는지 확인하기 위해 다음 합성함수를 새로 풀었다.
g(x)=\ln\left(\ln\left(\left(\frac12\right)^{x+2}+1\right)\right)
여기서
\left(\left(\frac12\right)^{x+2}\right)'=\left(\frac12\right)^{x+2}\ln\frac12
이고 \ln\frac12=-\ln2<0이다. 따라서
g'(x)=\frac{\left(\frac12\right)^{x+2}\ln\frac12}{\left(\left(\frac12\right)^{x+2}+1\right)\ln\left(\left(\frac12\right)^{x+2}+1\right)}\
이다. 모든 분모의 인수는 양수이고 분자만 음수이므로
g'(x)<0
이다. 따라서 g'(x)=0의 해는 없다. 학생은 처음에 \(\ln(1/2)\)를 양수처럼 처리했지만, 밑이 1보다 작으면 로그값의 부호가 음수라는 사실을 확인한 뒤 부호를 바로잡았다. 이처럼 새로운 합성 깊이에서도 밑의 조건, 정의역, 도함수의 부호를 첫 줄부터 점검해야 한다.