자양동고2수학과외, 로그의 밑과 진수 조건을 식의 근거로 확인하기
자양고등학교와 광양고등학교가 있는 자양동에서는 통학과 과제 시간을 함께 고려하며 풀이 과정을 짧고 정확하게 정리하는 연습이 필요하다. 특히 로그 문제는 계산보다 먼저 밑과 진수의 조건을 적어야 하므로, 직전 문제의 풀이 순서만 반복하면 새로운 표현에서 오류가 드러난다.
logx4에서 빠뜨린 두 조건
변형 문항에서 학생은 logx4를 보고 곧바로 로그법칙이나 지수식 변환을 적용했다. 그러나 이 표현이 실수 범위에서 정의되려면 밑에 대한 조건부터 확인해야 한다.
x > 0, x ≠ 1
또한 진수는 4 > 0이므로 진수 조건은 이미 만족한다. 답안에 밑 조건을 쓰지 않고 계산만 진행했다면, 처음 빠진 기호인 x > 0 또는 x ≠ 1에 표시해야 한다. 로그의 밑은 양수이면서 1이 아니어야 하며, 진수는 반드시 양수여야 한다.
로그법칙보다 먼저 적어야 할 중간식
예를 들어 다음 식을 정리한다고 하자.
logx4 + logx3 = logx12
이 식에서 로그의 덧셈 법칙을 쓰려면 각 로그가 정의되어야 한다. 따라서 풀이의 시작은 다음과 같아야 한다.
x > 0, x ≠ 1, 4 > 0, 3 > 0
그 뒤에야
logx4 + logx3 = logx(4×3) = logx12
라고 쓸 수 있다. 학생이 밑과 진수 조건을 생략한 채 바로 마지막 식을 적었다면 결론이 우연히 맞더라도 근거가 완성된 것은 아니다. 조건은 계산 뒤에 덧붙이는 장식이 아니라 로그법칙을 사용할 수 있는지를 판단하는 출발점이다.
처음 어긋난 기호 바로 아래에서 고쳐 쓰기
연습할 때는 변형 문제의 답안에서 조건이 생략된 부분에 표시하고, 그 줄을 지운 뒤 다음과 같이 바로 다시 쓴다.
logx4에서 밑 조건: x > 0, x ≠ 1
진수 조건: 4 > 0
이후에만 필요한 로그법칙을 적용한다. 이 방식은 “조건을 복습했다”라고 기억하는 데 그치지 않고, 실제 답안에서 첫 판단을 남기는 훈련이다. 계수나 부호가 바뀌어도 먼저 밑과 진수의 위치를 찾아 조건을 적어야 한다.
밑이 바뀐 문항에서 조건을 먼저 세우는지 확인
다음 문항으로 확인한다.
2logy5 - logy4
풀이를 시작할 때 학생이 써야 할 것은
y > 0, y ≠ 1, 5 > 0, 4 > 0
이다. 그 다음 계수를 로그 안으로 옮기면
2logy5 - logy4 = logy25 - logy4 = logy(25/4)
가 된다. 여기서 시간 제한은 두지 않고, 첫 줄에 y > 0, y ≠ 1을 스스로 적었는지 확인한다. 조건을 생략한 채 바로 logy(25/4)를 쓰는 이전 방식이 다시 나타나면, 가장 먼저 빠진 기호에 표시하고 올바른 중간식을 아래에 다시 작성한다.
자양동의 학교 과제와 시험 대비에서도 이 확인 절차가 유지되면, 숫자와 계수만 달라진 로그법칙 문항에서도 계산보다 앞서 정의 조건을 근거로 제시할 수 있다.