봉천동 고3 수학과외에서 확인한 무한급수의 첫 오류
봉천동에서 통학하며 과제와 시험을 함께 준비하는 고3 학생은 도형 문제의 중간식을 지울 때, 맞게 계산한 줄까지 모두 없애는 습관이 있었다. 관악구 봉천동에는 당곡고등학교, 서울문영여자고등학교, 구암고등학교 등 여러 고등학교가 있어 이동 시간과 학습량을 함께 관리해야 하지만, 이 문제에서는 계산 속도보다 조건을 남겨 두고 검증하는 과정이 핵심이었다.
공비가 실제로 일정한지 먼저 확인하기
첫 도형의 넓이를 A라 하자. 다음 도형은 직전 도형의 닮음비가 번갈아 1/2, 1/3이 되도록 만들어진다고 하자. 넓이의 닮음비는 길이비의 제곱이므로 새로 생기는 도형의 넓이는 다음과 같다.
A0=A,\quad A1=\frac{A}{4},\quad A2=\frac{A}{4\cdot9}=\frac{A}{36},\quad A3=\frac{A}{36\cdot4}=\frac{A}{144}
학생은 다음과 같이 풀이했다.
오답: 공비는 첫 단계에서 1/4이므로 전체 넓이는
A+\frac A4+\frac A{16}+\cdots=\frac{A}{1-\frac14}=\frac{4A}{3}
이 식은 틀린 풀이다. 실제로 두 번째 항과 세 번째 항의 비는
\frac{A_2}{A_1}=\frac{1}{9}
이므로 첫 번째 공비 1/4와 다르다. 따라서 전체 항을 하나의 등비급수로 처리할 수 없다. 등비급수의 합을 사용하려면 모든 인접한 항에 대해 An+1/An이 같은지 먼저 확인해야 한다.
맞는 부분을 보존한 뒤 부분합을 묶기
교사는 학생에게 첫 번째 불일치가 발생한 줄만 표시하게 했다.
- ☑ 도형의 넓이는 닮음비의 제곱으로 바꾼다.
- ☑ A, A/4, A/36까지 계산한다.
- ☐ 모든 항의 공비가 1/4인지 확인한다.
- ☐ 표의 넓이 변화와 식의 항이 같은 관계인지 비교한다.
공비가 번갈아 나타나므로 두 항씩 묶으면
S=A+\frac A4+\frac A{36}+\frac A{144}+\cdots =\left(A+\frac A4\right) \left(1+\frac1{36}+\frac1{36^2}+\cdots\right)
이다. 묶음 사이의 공비는 1/36이고, |1/36|<1이므로 수렴한다.
S=\frac{5A}{4}\cdot\frac{1}{1-\frac1{36}} =\frac{5A}{4}\cdot\frac{36}{35} =\frac{9A}{7}
틀린 줄에 표시한 뒤 조건과 변수 관계를 다시 확인하고, 식을 두 항 단위로 수정한 것이다. 부분합
S_{2m}=\frac{5A}{4}\cdot\frac{1-(1/36)^m}{1-1/36} \]
에서 m이 커질 때 (1/36)m이 0으로 가므로 같은 답에 도달하는지도 역검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 첫 도형의 넓이를 12로 하고, 길이비가 번갈아 1/3, 1/4가 되는 새 문제를 풀었다. 넓이 항은
12,\quad \frac{12}{9},\quad \frac{12}{9\cdot16},\quad \frac{12}{9\cdot16\cdot9},\ldots
이므로 두 항씩 묶으면
S=\left(12+\frac{12}{9}\right) \left(1+\frac1{144}+\frac1{144^2}+\cdots\right) =\frac{40}{3}\cdot\frac{144}{143} =\frac{1920}{143}
이번에도 전체 항의 공비를 임의로 정하지 않고, 반복되는 두 단계의 비가 1/144임을 확인한 뒤 수렴조건과 부분합을 함께 검산했다.