봉천동 고2수학과외: 지수적 감소에서 ‘줄어드는 비율’을 그래프로 읽기
봉천동에서 학교와 학원, 과제 장소를 오가는 고2 학생은 하루 단위로 변하는 수치를 식으로 정리해야 하는 일이 많다. 당곡고등학교·구암고등학교 등 관악구 내 학교의 시험 대비에서도 지수함수의 활용 문제는 계산보다 변화율을 식에 옮기는 과정에서 막히기 쉽다.
20% 감소를 0.2로 쓰는 순간
어떤 자료의 양이 처음에 500이고 매년 20%씩 감소한다고 하자. t년 후의 양을 A(t)라 하면, 매년 남는 비율은
100% - 20% = 80% = 0.8
이므로 정확한 식은
A(t)=500×0.8t
이다. 그런데 재풀이 과정에서 학생은 “20%씩 감소”를 보고
A(t)=500×0.2t
라고 적었다. 이 식에서는 1년 뒤의 양이 100이 된다. 하지만 실제로 500의 20%인 100만큼 줄어들면 남는 양은 400이다. 따라서 0.2는 줄어드는 비율이고, 0.8은 남는 비율이다.
계산 줄과 그래프가 알려 주는 오류
두 식을 그래프로 생각하면 차이가 더 분명하다. 올바른 식은
A(0)=500, A(1)=400, A(2)=320
이므로 t가 증가할수록 양수 값을 유지하며 완만하게 감소한다. 반면 잘못된 식은 A(1)=100, A(2)=20으로 지나치게 급격히 줄어든다. 학생이 그래프의 감소 방향만 확인하고 세로축의 실제 값과 y절편 A(0)=500을 대조하지 않았기 때문에 잘못된 식을 그대로 통과시킨 것이다.
이때 답안에는 먼저 “20% 감소 → 80% 남음 → 공비 0.8”을 적고, 매년의 값을 한 줄 계산해야 한다.
500×0.8=400, 400×0.8=320
이 두 계산이 식 500×0.8t와 일치하는지 확인하면 그래프의 방향뿐 아니라 변화량도 검증할 수 있다.
조건을 적은 줄만 다시 계산하기
같은 유형을 풀 때 전체 풀이를 처음부터 베끼는 대신, 변화 조건이 들어가는 줄을 따로 표시한다.
감소율 20% → 남는 비율 1-0.20=0.80
그다음 초기값과 함께 식을 세운다.
A(t)=500(1-0.20)t=500(0.8)t
예를 들어 3년 뒤에는
A(3)=500×0.83=500×0.512=256
이다. 500에서 20% 감소를 세 번 적용하면 400, 320, 256이 되므로 계산 결과도 조건과 맞는다.
하루 뒤 바뀐 조건에서도 남는 비율을 찾는가
다음 문제에서는 조건을 바꾼다.
어떤 장비의 사용량이 처음 800에서 시작하여 매일 15%씩 감소한다. 4일 뒤 사용량을 구하여라.
여기서 감소하는 비율은 0.15이지만 남는 비율은
1-0.15=0.85
이다. 따라서
B(n)=800×0.85n
이고,
B(4)=800×0.854=800×0.52200625=417.605
이다. 답안에 “15% 감소이므로 0.15n”이라고 쓰지 않고, 변화 방향이 감소인지, 초기값이 B(0)=800인지, 남는 비율 0.85가 그래프의 감소와 계산값에 모두 맞는지 확인하면 새로운 조건에서도 같은 판단을 유지할 수 있다.