반복소수와 무한급수의 첫 오류 찾기
염창동에서 통학하는 고3 학생은 이동 시간과 과제 부담이 늘면서 풀이를 처음부터 다시 쓰는 방식으로 오답을 고치고 있었다. 강서구 통학권의 대일고등학교, 명덕여자고등학교, 공항고등학교, 한서고등학교, 동양고등학교 등을 참고하되, 해당 학교들이 염창동에 소재한다고 보지는 않는다.
공비를 정하는 순간 조건이 바뀌었다
학생은 반복소수 \(0.\overline{27}=0.272727\cdots\)를 다음처럼 계산했다.
\(0.\overline{27}=\dfrac{27}{10}+\dfrac{27}{10^2}+\dfrac{27}{10^3}+\cdots\)
\(a= \dfrac{27}{10},\ r=\dfrac{1}{10}\)
\(a=\dfrac{27}{10}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{1}{10}}=3\)
이 식은 틀렸다. 반복되는 한 묶음이 \(27\)이므로 각 항은 \(27/100,\ 27/10000,\ 27/1000000,\ldots\)이어야 한다. 반복마디 길이가 2이면 소수점 아래 두 자리만큼 자릿값이 이동하므로 공비는 \(1/100\)이다.
부분합으로 첫 어긋남을 확인하기
올바른 급수는
\[ 0.\overline{27}=\frac{27}{100}+\frac{27}{10000}+\frac{27}{1000000}+\cdots \]
이다. 첫 세 부분합은
\[ S_1=0.27,\qquad S_2=0.2727,\qquad S_3=0.272727 \]
이며, 일반적인 부분합은
\[ S_n=\frac{27}{100}\frac{1-(1/100)^n}{1-1/100} =\frac{27}{99}\left(1-\frac{1}{100^n}\right) \]
이다. 공비의 절댓값이 \(1\)보다 작으므로 수렴하고,
\[ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{27/100}{1-1/100} =\frac{27}{99}=\frac{3}{11} \]
을 얻는다. 실제로 \(3/11=0.272727\cdots\)이므로 계산 결과와 반복소수가 일치한다.
오답을 고치는 실제 기록
- 틀린 줄 표시: \(r=1/10\)에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: 반복마디가 두 자리 \(27\)인지, 다음 항까지 소수점 아래 두 칸 이동하는지 확인한다.
- 식 수정: \(r=1/100\), 첫 항 \(a=27/100\)으로 바꾼다.
- 검산: \(S_1,S_2,S_3\)을 직접 계산하고, 최종값 \(3/11\)을 소수로 바꾸어 \(0.272727\cdots\)와 비교한다.
이제 해설 전체를 베끼지 않고, 각 중간식 옆에 ‘반복마디 2자리’, ‘등비급수 수렴조건 \(|r|<1\)’처럼 사용한 규칙을 적는다. 부분합의 값이 \(0.27,0.2727,0.272727\)로 변하는 모습은 수직선 위에서 \(3/11\)에 가까워지는 점들의 흐름으로도 확인한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 \(0.4\overline{16}=0.4161616\cdots\)을 계산한다.
\[ 0.4\overline{16} =\frac25+\frac{16}{1000}+\frac{16}{100000}+\cdots \]
반복마디가 두 자리이므로 뒤의 등비급수 공비는 \(1/100\)이다.
\[ \frac25+\frac{16/1000}{1-1/100} =\frac25+\frac{16}{990} =\frac{206}{495} \]
계산기를 사용하지 않고 \(S_1=0.416,\ S_2=0.41616\)을 먼저 구한 뒤 \(\frac{206}{495}=0.4161616\cdots\)과 대조한다. 부분합이 이 값에 가까워지고 공비의 절댓값이 \(1\)보다 작으므로 수렴조건과 소수 표현이 모두 맞는다.