염창동고2수학과외

염창동고2수학과외: 지수함수의 교점과 값의 범위를 그래프로 판단하기

염창동보람더하이아파트와 한솔아파트 생활권에서 통학하는 고등학생은 이동 시간 이후 학교 프린트와 시험 문제를 빠르게 처리해야 하는 경우가 많다. 이때 지수함수 문제에서 계산만 따라가면 교점의 개수와 값의 범위를 놓치기 쉽다. 특히 같은 강서구 통학권의 대일고등학교, 명덕여자고등학교, 공항고등학교 등에서 다룰 수 있는 고2 지수함수 문항은 식과 그래프를 함께 확인해야 한다.

2^x=x+2에서 교점을 하나로 단정한 이유

풀이 첫 줄에 “x=2이므로 교점은 하나”라고 적었다면, x=2가 실제 해인 것은 맞지만 교점의 개수까지 결정한 것은 아니다. 두 함수

y=2x, y=x+2

의 교점을 찾는 문제에서는 두 그래프의 만나는 위치를 확인해야 한다.

• x=-2일 때 2^x=1/4, x+2=0이므로 지수함수가 직선보다 위에 있다.
• x=-1일 때 2^x=1/2, x+2=1이므로 지수함수가 직선보다 아래에 있다.
• x=2일 때 2^x=4, x+2=4이므로 교점이다.

따라서 -2와 -1 사이에도 교점이 하나 있고, x=2에서도 교점이 있다. 음의 구간의 교점은 간단한 정수로 표현되지 않지만 존재 자체는 그래프와 값의 부호 변화로 확인할 수 있다. 학생이 x=2만 보고 교점이 하나라고 한 것은 값을 계산하지 못한 오류가 아니라, 다른 구간의 그래프 근거를 생략한 오류다.

교점 개수는 함수의 차이로 점검한다

두 그래프의 높이 차이를

h(x)=2x-x-2

로 두면 교점은 h(x)=0인 점이다. 계산 결과는

h(-2)=1/4>0, h(-1)=-1/2<0, h(2)=0

이다. 연속인 함수 h는 -2와 -1 사이에서 0이 되므로 x=2 외의 교점이 반드시 존재한다. 이처럼 특정 해를 찾은 뒤에는 양옆 구간에서 부호가 어떻게 바뀌는지 적어야 교점 개수를 판단할 수 있다.

풀이 연습에서는 먼저 구간을 정하고, 양 끝값을 표로 남긴다.

마지막에는 확인한 후보를 원래 식에 역산한다. x=2는 2²=4이고 x+2=4이므로 맞다. 반면 음의 교점은 근삿값을 사용했다면 두 변에 각각 대입하여 오차 범위 안에서 일치하는지 확인해야 한다.

경계값이 바뀐 부등식에서 포함 여부 확인하기

같은 방식이 새로운 조건에서도 유지되는지 다음 식으로 확인한다.

2x≥x+1

이번에는

2x-x-1=(2x-1)-x

이고, x=0과 x=1에서 각각 등호가 성립한다.

20=0+1, 21=1+1

지수함수 2^x는 아래로 굽지 않는 볼록한 그래프이므로 두 교점 사이에서는 직선보다 작고, 바깥쪽에서는 직선보다 크다. 따라서 해는

x≤0 또는 x≥1

이다. 부등호가 ≥이므로 경계값 x=0, x=1을 포함해야 한다. 새로운 수에서도 학생이 교점 후보를 직접 찾고, 원래 부등식에 대입하여 등호의 포함 여부까지 확인하는지 살펴볼 수 있다.