방화동고3수학과외

방화동 고3 수학과외에서 다룬 반복소수와 무한급수

방화2단지와 방화4단지처럼 통학 동선이 긴 생활권에서는 학교 이동과 과제가 겹치며 풀이를 서두르기 쉽다. 방화동의 한서고등학교, 서울백영고등학교, 서울디지털콘텐츠고등학교 학생을 지도할 때도 계산보다 반복구간과 수렴조건을 먼저 확인하도록 연습했다. 같은 강서구의 대일고등학교와 명덕여자고등학교는 참고 학교이며 방화동 소재 학교와는 구분했다.

반복구간을 첫째항으로 바꾸어 읽기

학생은 다음 무한소수를 등비급수로 나타내는 과정에서 반복구간을 잘못 나누었다.

0.272727…

답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

0.272727… = 0.27 + 0.27 + 0.27 + ⋯

이 식은 오답이다. 오른쪽 식은 공비가 1인 급수이므로 수렴하지 않으며, 실제 소수의 각 항도 소수점 아래 두 자리씩 이동하지 않는다. 반복되는 27을 자리값에 맞게 분리하면

0.272727… = 0.27 + 0.0027 + 0.000027 + ⋯

이므로 첫째항은 a = 0.27, 공비는 r = 0.01이다. |r|<1이므로 무한등비급수의 합은

S = a}{1-r} = \frac{0.27}{1-0.01} = \frac{0.27}{0.99} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

따라서 0.272727… = 3/11이다. 항 자체의 극한은 0이지만, 부분합의 극한은 3/11로 서로 다른 대상임도 확인해야 한다.

틀린 줄을 표시하고 조건을 역추적한 과정

• 틀린 줄 표시: 0.27 뒤의 다음 항을 0.27로 둔 부분에 표시한다.
• 변수 관계 확인: 소수점 아래 반복 블록이 두 자리이므로 다음 항은 100분의 1배가 되어야 한다.
• 식 수정: 0.27+0.27+⋯를 0.27+0.0027+0.000027+⋯로 고친다.
• 검산: 부분합을 계산하면 S₁=0.27, S₂=0.2727, S₃=0.272727이 되어 원래 소수에 가까워진다.

또한 등비급수 공식에 대입하기 전 공비가 1이 아닌지, |r|<1인지 확인하게 했다. 잘못된 후보인 0.27+0.27+⋯는 부분합이 0.27, 0.54, 0.81처럼 계속 증가하므로 원식의 값이 될 수 없다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않고 0.181818…을 새로 제시했다. 반복 블록이 18이므로

0.181818… = 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ⋯

여기서 a=0.18, r=0.01이므로

S = \frac{0.18}{0.99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}

학생은 0.18+0.18+⋯라는 후보를 먼저 제거한 뒤, 세 부분합 0.18, 0.1818, 0.181818을 계산해 정답의 방향을 확인했다. 반복소수에서는 숫자 자체보다 반복 블록의 자리 이동, 공비의 절댓값, 부분합의 수렴을 함께 연결해야 변형문제에도 적용할 수 있다.