방화동고2수학과외: 지수함수 교점은 밑의 범위와 해의 개수를 함께 판단해야 합니다
방화2단지와 방화4단지에서 통학하며 학교 프린트와 지필평가를 병행하는 고2 학생에게는 계산 결과보다 그래프의 조건을 해석하는 과정이 중요합니다. 특히 지수함수와 직선의 교점 문제에서는 밑의 범위와 값의 범위를 확인하지 않으면 교점의 개수를 잘못 판단하기 쉽습니다.
“교점은 하나”라고 적은 풀이에서 빠진 것
문제에서 다음 방정식을 생각해 봅니다.
2x = x + 2
이를 두 함수의 교점으로 보면
y = 2x, y = x + 2
입니다. 그런데 풀이 흔적에는 “그래프상 한 점에서 만난다”라고만 적혀 있고, 지수함수의 밑이 어떤 범위에 있는지와 실제 교점의 개수를 확인한 과정이 없었습니다.
밑을 a라고 하는 지수함수 y = ax는 실수 범위에서 a > 0, a ≠ 1이어야 합니다. 이 문제의 밑 2는 조건을 만족하며, 2x는 증가함수입니다. 하지만 증가한다는 사실만으로 직선과 한 번만 만난다고 결론 내릴 수는 없습니다.
2x와 x+2의 교점은 두 개다
두 함수의 차를
f(x) = 2x - x - 2
로 두면 교점은 f(x)=0인 값입니다.
먼저 값을 대입하면
- f(-2) = 1/4 > 0
- f(-1) = 1/2 - 1 = -1/2 < 0
- f(2) = 4 - 2 - 2 = 0
따라서 -2와 -1 사이에서 부호가 바뀌므로 교점이 하나 존재하고, x=2에서도 교점이 있습니다. 실제로 x=2에서 y=4이므로 점 (2,4)는 정확한 교점입니다. 학생이 교점을 하나라고 단정한 이유는 그래프를 대략적으로만 보고, 음의 x 범위에서 생기는 교점을 확인하지 않았기 때문입니다.
또한 f(x)의 그래프는 x가 매우 작아질 때 2x는 0에 가까워지고 -x-2는 커지므로 f(x)는 양수가 됩니다. 반면 f(-1)<0이므로 왼쪽 교점이 반드시 나타납니다. 이처럼 교점 문제에서는 특정 점 하나를 찾는 것과 전체 교점의 개수를 판단하는 것을 구분해야 합니다.
오답을 지우기 전, 판단이 끊긴 지점을 문장으로 남기기
풀이를 전부 지우는 대신 다음과 같이 오류 원인을 먼저 적게 합니다.
“지수함수의 밑 조건과 음의 x 범위에서의 교점을 확인하지 않고 교점을 한 개로 단정했다.”
그다음 해당 단계만 고쳐
f(-2)>0, f(-1)<0, f(2)=0
을 기록합니다. 이 한 줄은 단순한 반성이 아니라, 함수의 값 범위와 교점 개수를 연결하는 근거가 됩니다. 밑이 2이므로 y=2x는 양수이고 증가하지만, 직선 y=x+2도 x의 범위에 따라 위치가 달라지므로 그래프의 한쪽만 보고 결론을 내릴 수 없습니다.
밑이 바뀐 지수함수에서 다시 판단하기
새로운 문제로
(1/2)x = x + 2
의 해의 개수를 판단합니다. 밑 1/2은 0<1/2<1이므로 지수함수는 감소하고, 직선 y=x+2는 증가합니다. 따라서 두 함수의 교점은 많아야 하나입니다.
실제 해의 존재도 확인해야 합니다.
- x=-1일 때 (1/2)-1=2, x+2=1
- x=0일 때 (1/2)0=1, x+2=2
-1과 0에서 두 함수의 대소관계가 바뀌므로 교점은 그 사이에 하나 존재합니다. 이번에는 밑의 범위와 증가·감소를 먼저 표시한 뒤, 양 끝값으로 교점의 존재를 확인해야 합니다. 원래 문제와 식을 나란히 제공하지 않고 새 조건만 제시했을 때도 이 순서를 재현하는지가 확인할 지점입니다.
방화동에서 통학과 과제가 겹치는 시기에는 풀이를 길게 다시 쓰기보다, 밑의 조건을 적고 함수의 증가·감소를 판단한 뒤 교점의 존재와 개수를 근거와 함께 남기는 짧은 기록이 효과적입니다.