강북구 고3 수학과외에서 확인한 부분합과 급수의 구분
미아동과 수유동에서 통학하며 고등학교 과제와 시험 준비를 병행하는 고3 학생은 중학교 때보다 이동 시간과 학습량이 함께 늘어난 상황이었다. 영훈고등학교, 혜화여자고등학교, 삼각산고등학교 등 강북구의 여러 학교 학생에게도 부분합과 무한급수를 구분하는 연습은 중요한 기초가 된다. 특히 번동주공1단지나 번동주공3단지처럼 생활권과 학교 사이 이동 시간이 있는 경우, 짧은 풀이를 정확하게 완성하는 습관이 필요하다.
부분합을 전체 합으로 착각한 첫 풀이
학생에게 등비수열의 첫째항이 \(3\), 공비가 \(\frac{1}{2}\)일 때 첫 \(n\)개 항의 합을
\[ S_n=3+ \frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\cdots+3\left(\frac12\right)^{n-1} \]
로 두고 정리하게 했다. 학생은 다음과 같이 계산했다.
\[ S_n=\frac{3\{1-(\frac12)^n\}}{1-\frac12} =6\{1-(\frac12)^n\} \]
\[ a_n=S_n=6\{1-(\frac12)^n\} \]
마지막 줄은 틀린 식이다. \(S_n\)은 첫 \(n\)개 항을 더한 값이고, \(a_n\)은 \(n\)번째 항 하나의 값이므로 두 값은 일반적으로 같지 않다. 실제로 \(n=1\)을 대입하면 \(S_1=3\)이지만, 위의 잘못된 식은 \(a_1=3\)으로 우연히 맞는다. 그러나 \(n=2\)에서는 \(S_2=\frac{9}{2}\), \(a_2=\frac32\)이므로 서로 다르다.
오류 줄을 지우고 항과 합의 관계를 다시 세우기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 주어진 것이 \(S_n\)인지 \(a_n\)인지 먼저 확인했다. \(S_n\)이 주어졌을 때 항은 인접한 부분합의 차로 구해야 하므로
\[ a_n=S_n-S_{n-1}\quad(n\ge2) \]
를 사용한다. 이 문제에서는
\[ S_n=6\left(1-\left(\frac12\right)^n\right),\qquad S_{n-1}=6\left(1-\left(\frac12\right)^{n-1}\right) \]
이므로
\[ a_n=S_n-S_{n-1} =6\left\{\left(\frac12\right)^{n-1}-\left(\frac12\right)^n\right\} =3\left(\frac12\right)^{n-1} \]
이 된다. 또한 \(n=3\)을 대입하면 \(a_3=\frac34\), \(S_3=3+\frac32+\frac34=\frac{21}{4}\)이므로 계산 결과가 서로 다른 종류의 값임을 확인할 수 있다.
전체 무한급수의 합은 부분합 자체가 아니라 부분합의 극한이다.
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_k =\lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}6\left(1-\left(\frac12\right)^n\right) =6 \]
공비의 절댓값이 \(1\)보다 작아야 이 극한과 등비급수의 합 공식을 사용할 수 있다. 여기서는 \(\left|\frac12\right|<1\)이므로 수렴하지만, 공비가 \(1\)이거나 절댓값이 \(1\)보다 크면 같은 방식으로 전체 합을 정할 수 없다.
초항과 공비를 바꾼 독립 검증
마지막에는 초항과 공비를 바꾼 문제를 제시했다. 첫째항이 \(5\), 공비가 \(-\frac13\)인 등비급수에서
\[ S_n=5- \frac53+\frac{5}{9}-\cdots+5\left(-\frac13\right)^{n-1} \]
일 때 부분합과 전체 합을 구하는 문제다. 학생은 먼저
\[ S_n=\frac{5\{1-(-\frac13)^n\}}{1-(-\frac13)} =\frac{15}{4}\left\{1-\left(-\frac13\right)^n\right\} \]
로 계산했다. 이어서 \(a_n\)은 \(S_n\)과 같지 않고
\[ a_n=S_n-S_{n-1} =5\left(-\frac13\right)^{n-1} \]
임을 확인했다. 공비의 절댓값이 \(\frac13<1\)이므로 전체 급수의 합은
\[ \lim_{n\to\infty}S_n =\frac{15}{4} \]
이다. \(n=2\)를 대입하면 \(S_2=5-\frac53=\frac{10}{3}\), \(a_2=-\frac53\)으로 서로 다르며, 초항과 공비를 바꾼 뒤에도 부분합·일반항·무한급수의 합을 분리해야 한다는 점을 검산했다.