강북구고2수학과외

강북구고2수학과외, 지수함수 평행이동에서 먼저 확인할 조건

미아동·수유동·우이동에서 학교와 집을 오가며 고2 수학의 지수함수 문제를 풀다 보면, 풀이 시간이 부족해 식의 모양만 보고 그래프를 옮기는 경우가 생긴다. 영훈고등학교, 혜화여자고등학교, 창문여자고등학교, 솔샘고등학교, 삼각산고등학교, 신일고등학교 등 학교별 학습 일정이 달라도 이 단원에서 필요한 판단은 같다. 평행이동을 말하기 전에 지수함수의 밑과 식의 변화를 확인해야 한다.

y=2^x-2를 왼쪽으로 옮긴 풀이가 틀린 이유

학생의 풀이에는 다음과 같은 문장이 적혀 있었다.

y=2^x-2이므로 y=2^x를 왼쪽으로 2만큼 옮긴다.

이 판단은 방향이 반대다. 기본 그래프를 y=2^x라 하면, 식에서 x를 x-2로 바꾼 y=2^x-2는 그래프를 오른쪽으로 2만큼 평행이동한 것이다. 실제로 기본 그래프의 점 (0, 1)은 새 그래프에서 x-2=0일 때인 (2, 1)로 이동한다.

따라서

y=a^x-p+q

는 y=a^x를 오른쪽으로 p만큼, 위쪽으로 q만큼 옮긴 그래프다. 단, 이 설명을 사용하기 전에도 지수함수의 조건을 확인해야 한다.

평행이동 식 앞에 네모로 적을 조건

지수함수 y=a^x가 실수 범위에서 지수함수로 성립하려면

a > 0, a ≠ 1

이어야 한다. 평행이동은 그래프의 위치를 바꾸지만 밑의 조건을 없애 주지는 않는다. 예를 들어

y=(−2)^x

를 실수 전체에서 일반적인 지수함수로 다루거나, y=1^x를 지수함수 그래프로 해석할 수는 없다. 앞의 식은 모든 실수 x에서 실숫값이 정의되지 않고, 뒤의 식은 항상 y=1인 상수함수이기 때문이다.

문제를 받으면 다음처럼 식 옆에 먼저 표시한다.

□ 밑 a>0인가?　□ a≠1인가?　□ 지수부의 부호와 이동 방향을 확인했는가?

예를 들어 y=3^x+4−1에서는 x+4=x−(−4)로 고쳐 읽는다. 따라서 그래프는 왼쪽으로 4, 아래로 1만큼 이동한다. 밑 3은 3>0, 3≠1이므로 조건도 통과한다.

밑이 바뀌면 같은 이동 판단을 그대로 쓰지 않는다

밑의 값은 평행이동과 별개로 그래프의 증가·감소를 결정한다. y=2^x−1+3은 오른쪽 1, 위쪽 3만큼 이동한 증가함수다. 반면 y=(1/2)^x−1+3도 오른쪽 1, 위쪽 3만큼 이동하지만 밑이 0과 1 사이이므로 감소함수다.

즉 이동량만 보고 두 그래프를 완전히 같다고 하면 안 된다. 두 식의 점근선은 각각 y=3이지만, 하나는 증가하고 다른 하나는 감소한다. 밑의 범위와 그래프의 변화 방향을 함께 적어야 식과 그림이 일치한다.

안내 없는 식에서 조건부터 쓰는지 확인하기

다음 식을 별도의 풀이 순서 없이 제시한다.

y=(1/3)^x+2−4

먼저 1/3>0, 1/3≠1을 확인하고, x+2=x−(−2)로 바꾸어 왼쪽 2, 아래쪽 4의 이동을 판단해야 한다. 또한 밑이 0과 1 사이이므로 그래프가 감소한다. 점근선은 y=−4이다.

이 문제에서 계산 결과만 맞히는 것보다, 첫 줄에 조건을 적었는지가 중요하다. 조건 확인 없이 곧바로 “오른쪽 2”라고 쓰면 부호를 잘못 읽은 것이고, “증가함수”라고 쓰면 밑에 따른 방향을 놓친 것이다.

지수함수 평행이동 문제를 풀 때마다 식 위에 네모 조건을 남기고, 밑의 범위와 x−p의 형태를 확인한 뒤 그래프의 이동 방향을 기록하는 풀이가 자리 잡아야 한다.