우이동 생활권 고3수학과외에서 확인한 급수 조건 해석
우이동과 강북구 통학권에서 고3 학생의 과제량과 귀가 시각을 함께 점검하다 보면, 계산 실수보다 주어진 조건을 어떤 변수 관계로 바꾸는지에서 막히는 경우가 많다. 특히 급수에서는 항의 극한과 급수의 합을 같은 의미로 받아들이면 첫 식부터 잘못 세워진다.
합 조건을 빠뜨린 첫 풀이
학생에게 다음 문제를 제시했다.
첫째항이 양수이고 공비가 양수인 등비급수가 수렴한다. 무한등비급수의 합이 4이고, 둘째 항이 1일 때 첫째항과 공비를 구하여라.
첫째항을 a, 공비를 r이라 하면 수렴조건은 |r|<1이고, 문제의 조건은
ar=1, a/(1-r)=4
가 되어야 한다. 그러나 학생의 계산 흔적에는 다음과 같이 적혀 있었다.
a=4, ar=1이므로 r=1/4
이 식은 오답이다. 무한등비급수의 합 4를 첫째항 a와 같다고 놓았기 때문이다. 합은 첫째항 하나가 아니라
a+ar+ar2+⋯=a/(1-r)
로 계산해야 한다. 또한 항 자체의 극한은 r의 절댓값이 1보다 작을 때 0이 되지만, 이것만으로 급수의 합이 4라는 결론을 얻을 수는 없다.
조건을 변수 관계로 다시 세우기
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, ‘합’인지 ‘둘째 항’인지 조건의 대상을 나누어 표시했다. 그 뒤 식을 다음처럼 수정했다.
ar=1
a/(1-r)=4 → a=4(1-r)
두 식을 결합하면
4r(1-r)=1
4r2-4r+1=0
(2r-1)2=0
따라서 r=1/2, a=2이다. 공비가 1보다 작으므로 수렴조건도 만족한다.
학생은 마지막에 직접 역검산했다.
둘째 항: 2×1/2=1
급수의 합: 2/(1-1/2)=4
두 조건이 모두 맞으므로 수정된 풀이가 옳다. 귀가 후 풀이를 다시 볼 때도 정답만 확인하지 않고, 합 공식에 대입한 값과 원래 조건을 각각 확인하도록 했다.
숫자를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 그대로 외운 것인지 확인하기 위해 조건을 바꾸었다.
수렴하는 양의 등비급수의 합이 6이고 둘째 항이 3/2일 때 첫째항과 공비를 구하여라.
이번에는
ar=3/2, a/(1-r)=6
에서 a=6(1-r)을 먼저 얻는다. 따라서
6r(1-r)=3/2
r(1-r)=1/4
(r-1/2)2=0
이므로 r=1/2, a=3이다. 검산하면 둘째 항은 3×1/2=3/2, 무한급수의 합은 3/(1-1/2)=6이다. 학생은 숫자가 달라져도 먼저 합 조건과 항 조건을 분리해야 한다는 점을 스스로 재현했다.