우이동고2수학과외: 지수함수 대칭이동은 계산보다 변환 조건부터
우이동은 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않아, 강북구 내 영훈고등학교·혜화여자고등학교·창문여자고등학교·솔샘고등학교·삼각산고등학교 등의 통학권을 참고해 학습 흐름을 점검할 수 있다. 귀가 후 학교 프린트의 지수함수 문제를 풀 때도 먼저 식의 변화를 판별하는 습관이 필요하다.
y=-2x를 y축 대칭으로 읽은 순간
대칭이동 문제에서 다음과 같은 풀이가 나왔다.
y=2^x를 y축 대칭하면 y=-2^x
이 식은 잘못되었다. y=-2x에서 마이너스는 함수값 전체에 붙어 있으므로, 원래 함수의 모든 점 (x, 2x)가 (x,-2x)로 이동한다. 따라서 이는 x축 대칭이다.
반대로 y축 대칭은 점 (x, y)를 (-x, y)로 옮긴다. 그러므로
y=2x → y=2-x
가 된다. 실제로 2-x=(1/2)x이므로 밑이 2에서 1/2로 바뀐다. 이때 두 밑 모두 0<a, a≠1을 만족하므로 지수함수로 성립한다.
변환 기호를 좌표 변화와 연결하기
기준 함수 f(x)=2x에 대해 변환을 다음처럼 구분한다.
y=f(-x)=2-x: y축 대칭y=-f(x)=-2x: x축 대칭y=f(x)+3=2x+3: 위로 3만큼 평행이동y=f(x-2)=2x-2: 오른쪽으로 2만큼 평행이동
특히 -x가 입력값 안에 있는지, 함수 전체 앞에 -가 있는지를 먼저 표시해야 한다. y=-2x의 정의역은 모든 실수이고 치역은 y<0이며, y=2-x의 치역은 y>0이다. 치역까지 확인하면 두 식을 같은 대칭으로 처리할 수 없다.
잘못된 줄과 수정한 줄의 기호 하나
풀이 첫 줄에 다음 두 식을 나란히 적고, 달라진 기호를 표시한다.
| 잘못된 처리 | 수정한 처리 |
|---|---|
y=2x → y=-2x |
y=2x → y=2-x |
왼쪽은 함수 전체에 음수를 붙인 것이므로 x축 대칭이고, 오른쪽은 입력값의 부호를 바꾼 것이므로 y축 대칭이다. 예를 들어 y=2x 위의 점 (1,2)를 y축 대칭하면 (-1,2)가 된다. 수정한 식에 x=-1을 넣으면 2-(-1)=2이므로 좌표가 맞는다.
y=-(1/3)x에서 다시 확인할 조건
새 식에서 x축 대칭과 y축 대칭을 구별해 보자. 기준 함수가 f(x)=(1/3)x일 때
y=-(1/3)x는 x축 대칭이고,
y=(1/3)-x=3x는 y축 대칭이다.
여기서도 밑 1/3은 0보다 크고 1이 아니므로 지수함수 조건을 만족한다. 새 문제에서 먼저 “함수값 앞의 음수인가, x 안의 음수인가”를 표시한 뒤, 변환된 점 하나를 대입해 확인한다면 결과 계산만 먼저 하던 풀이에서 벗어날 수 있다.