금호동고3수학과외

그래프와 식이 어긋난 첫 지점부터 찾는 실근 개수 풀이

금호동에서 금호고등학교까지의 이동 시간과 주거지의 학습 환경은 학생마다 다르다. 금호삼성래미안이나 금호동벽산아파트처럼 생활권이 달라지면 공부를 시작하는 시점도 달라질 수 있으므로, 짧은 시간에도 풀이의 첫 오류를 정확히 찾는 연습이 중요하다.

절댓값 조건을 빠뜨린 오답

다음 방정식의 실근 개수를 구해 보자.

|x-2|=x²-4x+3

학생은 절댓값을 모든 구간에서 |x-2|=x-2로 두고 다음처럼 계산했다.

x-2=x²-4x+3

x²-5x+5=0

따라서 실근은 2개이다.

이 식은 x≥2에서만 성립한다. x<2에서는 |x-2|=2-x이므로, 절댓값의 부호 조건을 무시한 위 계산은 원래 방정식의 전체 실근을 나타내지 못한다. 특히 해의 개수가 우연히 2로 나온 것과 올바른 근거로 2개를 얻은 것은 다르다.

부호표와 x축 교점을 따로 확인하기

먼저 양변의 차를 함수로 정의한다.

F(x)=x²-4x+3-|x-2|

방정식의 실근은 F(x)=0인 x, 즉 F의 그래프와 x축의 교점이다. 절댓값의 기준점 x=2를 임계점으로 나누면 다음과 같다.

• x<2이면 F(x)=x²-4x+3-(2-x)=x²-3x+1
• x≥2이면 F(x)=x²-4x+3-(x-2)=x²-5x+5

왼쪽 식의 근은

x=(3±√5)/2

이며 x<2 조건을 만족하는 것은 (3-√5)/2 하나이다. 오른쪽 식의 근은

x=(5±√5)/2

이고 x≥2 조건을 만족하는 것은 (5+√5)/2 하나이다. 따라서 실근은 모두 2개이다.

틀린 줄을 표시하고 원식으로 역검산하기

재풀이할 때 학생은 해설의 결론부터 옮기지 않고, 처음 틀린 줄에 표시했다.

오류: |x-2|=x-2를 전 구간에 적용함.

그다음 기준점 x=2를 적고, 각 식에 해당하는 범위를 나란히 확인했다.

• x<2: |x-2|=2-x, 근 x=(3-√5)/2
• x≥2: |x-2|=x-2, 근 x=(5+√5)/2

마지막으로 두 값을 원래 식에 대입했다. x=(3-√5)/2에서는 양변이 각각 |x-2|와 x²-4x+3으로 같고, x=(5+√5)/2에서도 두 값이 일치한다. 그래프에서는 각 구간의 포물선이 x축을 한 번씩 만나는지 확인해 식의 근 개수와 교점 개수가 일치하는지 검산했다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 다음 문제로 같은 오류가 다시 나타나는지 확인했다.

|x+1|=x²+2x-3

임계점은 x=-1이다. t=x+1로 두면 우변은 t²-4가 된다.

• t<0: -t=t²-4 → t²+t-4=0 → t=(-1-√17)/2
• t≥0: t=t²-4 → t²-t-4=0 → t=(1+√17)/2

각 해는 해당 범위를 만족하므로 실근은 2개이다. 학생은 이번에는 그래프의 x축 교점 조건과 절댓값의 구간별 식을 분리한 뒤, 두 근을 원래 식에 대입하여 끝까지 검산했다.