암사동 고3 수학과외에서 부분합으로 등비급수 오답 찾기
암사동의 선사고등학교를 중심으로 공부하는 고3 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 오답을 다시 볼 시간을 정해야 한다. 같은 강동구의 한영고등학교·광문고등학교·동북고등학교·성덕고등학교는 참고 생활권으로만 구분하고, 암사동 소재 학교로 단정하지 않는다.
공식보다 먼저 확인할 조건
학생은 다음 급수의 합을 구하며 공식을 바로 적용했다.
3-6+12-24+\cdots
첫째항은 \(a=3\), 공비는 \(r=-2\)이므로 학생은
\[ S=\frac{a}{1-r}=\frac{3}{1-(-2)}=1 \]
이라고 적었다. 이 답은 오답이다. 등비급수의 무한합 공식은 반드시 \(|r|<1\)일 때만 사용할 수 있는데, 여기서는 \(|r|=2>1\)이다.
부분합을 직접 계산하면
\[ S_n=3\frac{1-(-2)^n}{1-(-2)}=1-(-2)^n \]
이고, \(n=1,2,3,4\)일 때 부분합은 각각 \(3,-3,9,-15\)이다. 부분합이 일정한 값으로 가까워지지 않으므로 이 급수는 수렴하지 않는다.
학생의 첫 오류를 한 줄만 고치기
학생은 해설의 정답 표시만 다시 보지 않고, 자신의 풀이와 해설을 좌우에 나란히 적었다.
- 학생의 식: \(S=\dfrac{3}{1-(-2)}=1\)
- 확인할 조건: \(|r|<1\)인가?
- 실제 조건: \(|-2|=2>1\)
- 수정된 결론: 무한등비급수의 합 공식 적용 불가, 발산
따라서 처음 틀린 부분은 분모 계산이 아니라 공비의 절댓값을 확인하지 않고 무한합 공식을 사용한 단계다. 이후에는 \(S_n=1-(-2)^n\)에 \(n=2,3\)을 대입해 부분합이 달라지는지 검산하고, \(n\)이 커질수록 \((-2)^n\)의 크기가 커진다는 점도 확인한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 개념을 반복하지 않기 위해 첫째항과 공비를 바꾸어 다음 문제를 확인한다.
6-2+ \frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\cdots
이번에는 \(a=6\), \(r=-\frac13\)이므로 \(|r|=\frac13<1\)이다. 따라서
\[ S=\frac{6}{1-\left(-\frac13\right)} =\frac{6}{\frac43} =\frac92 \]
부분합 공식으로도
\[ S_n=6\frac{1-\left(-\frac13\right)^n}{1+\frac13} =\frac92\left(1-\left(-\frac13\right)^n\right) \]
이며 \(\left(-\frac13\right)^n\to0\)이므로 \(S_n\to\frac92\)이다. 숫자와 공비가 달라져도 먼저 \(|r|<1\)을 확인한 뒤 부분합의 극한을 판단해야 한다.