암사동고2수학과외

암사동고2수학과외: 지수함수의 수평점근선을 계산 줄에서 추적하기

암사동에서는 선사고등학교의 학교 프린트와 지필평가 범위, 평일 귀가 시간을 함께 고려하더라도 지수함수 그래프의 핵심 판단은 식의 구조에서 출발해야 한다. 한 줄의 상수항을 놓치면 그래프 전체의 위치가 달라지기 때문이다. 선사고등학교는 암사동 소재 학교이며, 한영고·광문고·동북고·성덕고등학교는 같은 강동구의 참고 학교로 구분해야 한다.

y=2^x+3에서 왜 y=0이 될 수 없는가

다음 함수의 수평점근선을 구해 보자.

f(x)=2^x+3

2^x는 x가 매우 작아질수록 0에 가까워지지만 실제로 0이 되지는 않는다.

x→−∞일 때 2^x→0이므로
f(x)=2^x+3→3

따라서 수평점근선은 y=3이다. 그래프는 y=2^x를 위로 3만큼 평행이동한 것이므로, 원래 그래프의 점근선 y=0도 위로 3만큼 이동한다.

마지막 값만 고친 풀이에서 빠진 근거

풀이 과정에서 학생은 식의 끝에 있는 “+3”을 확인하지 않은 채 다음과 같이 적었다.

2^x의 수평점근선이 y=0이므로 y=2^x+3의 점근선도 y=0이다.

이 판단은 평행이동을 반영하지 않았기 때문에 틀렸다. y=2^x의 모든 함수값에 3을 더하면 그래프의 모든 점이 위로 3만큼 이동한다. 그러므로 점근선도 y=0에서 y=3으로 이동한다. 답만 y=3으로 바꾸고 그래프 근거를 남기지 않으면, 식이 y=2^x−4로 바뀌었을 때 같은 오답을 반복할 수 있다.

점근선을 찾은 뒤 역으로 식을 복원하기

수정할 때는 상수항을 단순히 읽는 데서 끝내지 않고, 점근선에서 원래 식을 역으로 확인한다.

y=2^x+3에서 점근선이 y=3이라고 판단했다면
y−3=2^x

즉, 점근선 y=3을 기준으로 그래프를 세로로 3만큼 내리면 기본형 y=2^x가 복원된다. 이 역관계가 성립하므로 y=3이라는 판단에 식의 근거가 있다.

같은 방식으로 g(x)=5^x−2라면

g(x)+2=5^x

가 되어 수평점근선은 y=−2이다. 상수항이 −2이므로 그래프는 아래로 2만큼 이동한 것이다.

불필요한 정보가 섞인 문제에서 식의 이동량만 고르기

함수 h(x)=3^x+4가 있고, h(1)=7이라는 정보와 그래프가 제1·2사분면을 지난다는 설명이 함께 제시되었다고 하자. 수평점근선을 묻는다면 필요한 정보는 함수식의 “+4”뿐이다.

x→−∞일 때 3^x→0
h(x)→4

따라서 수평점근선은 y=4이다. h(1)=3+4=7은 식의 계산이 맞는지 확인하는 데 사용할 수 있지만, 점근선의 위치를 새로 결정하는 정보는 아니다.

반대로 함수가 k(x)=2^x−5로 바뀌면 x→−∞에서 k(x)→−5이므로 점근선은 y=−5이다. 이때 답안에는 “2^x→0”과 “−5를 더함”을 차례로 남겨야 하며, 마지막에 k(x)+5=2^x로 원래 기본형이 복원되는지도 확인해야 한다.