명일동 고3수학과외: 항의 극한만으로 무한급수를 판단하지 않기
명일주공과 명일현대아파트 생활권에서 통학하는 고3 학생의 오답표를 살펴보면, 답을 옮겨 적기 전에 풀이가 처음 어긋난 줄을 찾는 습관이 중요하다. 명일동 내 고등학교로는 명일여자고등학교가 확인되며, 한영고등학교·광문고등학교·동북고등학교·성덕고등학교는 같은 강동구의 참고 학교이다.
수렴 판정에서 처음 틀린 줄
학생이 다음 급수를 풀었다.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+2}{n^2+1}\)
학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{n^2+1}=0\)
따라서 급수는 수렴한다.
이 결론은 틀렸다. 항의 극한이 0인 것은 수렴의 필요조건일 뿐, 그것만으로 급수의 수렴을 결정할 수 없다. 이 급수의 일반항은 분자와 분모의 차수를 비교하면 \(\frac{3}{n}\)에 가까우므로 조화급수처럼 발산한다.
부분합으로 오답을 바로잡는 과정
오답표의 왼쪽에는 학생의 식을, 오른쪽에는 수정한 식을 나란히 적는다.
- 틀린 식: \(a_n\to0\) 이므로 \(\sum a_n\)은 수렴한다.
- 수정한 식: \(a_n\to0\)인지 먼저 확인한 뒤, 부분합 또는 비교판정을 추가한다.
실제로 \(n\ge 1\)에서
\[ \frac{3n+2}{n^2+1}\ge \frac{3n}{2n^2}=\frac{3}{2n} \]
이다. 그런데
\[ \sum_{n=1}^{N}\frac{3}{2n}=\frac32\left(1+\frac12+\cdots+\frac1N\right) \]
은 \(N\)이 커질수록 끝없이 증가한다. 따라서 원래 급수의 부분합도 제한 없이 커지며,
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+2}{n^2+1}\)은 발산한다.
학생은 풀이 중 \(\lim a_n=0\)이라고 쓴 줄에 표시한 뒤, ‘필요조건 확인’이라고 메모한다. 그 다음 줄에 부분합의 증가 여부와 비교 대상인 \(\sum 1/n\)을 적고, \(N=10\)과 \(N=100\)을 대입해 부분합의 크기가 계속 커지는지도 역검산한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 급수를 새로 판별한다.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac13\right)^{n-1}\)
이번에는 일반항의 극한만 보지 않고 부분합을 계산한다.
\[ S_N=1+\frac13+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{3^{N-1}} =\frac{1-(1/3)^N}{1-1/3} =\frac32\left(1-\left(\frac13\right)^N\right) \]
\(N\to\infty\)일 때 \((1/3)^N\to0\)이므로
\[ \lim_{N\to\infty}S_N=\frac32 \]
이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. 학생은 이번에는 항의 극한이 0이라는 문장에서 멈추지 않고, 부분합의 극한까지 확인해 두 판정을 구분한다.