명일동고2수학과외: 지수함수의 밑과 증가·감소를 계산 줄에서 확인하기
명일동의 귀가 시간과 학교 프린트 과제를 함께 점검하다 보면, 지수함수 문제에서 그래프를 먼저 그린 뒤 답만 고치는 풀이가 자주 발견된다. 특히 명일여자고등학교와 강동구 내 참고 학교의 고2 수학 학습에서는 식의 계산뿐 아니라 밑이 1보다 큰지 작은지를 풀이 중간에 표시해야 한다.
오른쪽으로 갈수록 내려가는 그래프를 올려 그린 흔적
학생의 풀이에는 다음 문장이 남아 있었다.
y=(1/3)^x는 오른쪽으로 갈수록 커진다.
이 판단은 밑과 증가·감소를 연결하지 않은 오류다. 0<1/3<1이므로 y=(1/3)^x는 감소함수이다. 실제로
x=0이면 y=1, x=1이면 y=1/3, x=2이면 y=1/9
가 되어 x가 커질수록 함수값은 작아진다. 밑이 a>1이면 증가하고, 0<a<1이면 감소한다. 그래프를 그릴 때도 이 판단을 먼저 적어야 y=3^x와 반대 방향의 모양을 놓치지 않는다.
정답을 고치기 전에 밑의 범위를 식 옆에 남긴다
다음 방정식을 계산해 보자.
(1/3)^(2x)-4(1/3)^x-5=0
t=(1/3)^x로 놓으면 지수의 성질에 따라
t²-4t-5=0
(t-5)(t+1)=0
따라서 형식상 후보는 t=5, t=-1이다. 그러나 t=(1/3)^x는 어떤 실수 x에서도 항상 양수이므로 t>0을 함께 적어야 한다. 그러므로 t=-1은 버리고
(1/3)^x=5
3^{-x}=5
-x=\log_3 5
에서 해는 x=-\log_3 5이다. 여기서 학생이 그래프 방향을 잘못 판단한 뒤 음의 후보를 그대로 답에 넣었다면, 문제는 계산 실수만이 아니라 지수값의 범위와 밑의 감소성을 동시에 빠뜨린 데 있다.
계산지에 남겨야 할 두 줄
같은 오류가 보이면 기존 풀이를 전부 지우지 말고, 잘못된 줄 옆에 다음 두 조건을 적게 한다.
0<1/3<1 → y=(1/3)^x는 감소
t=(1/3)^x → t>0
그 다음 이 조건을 반영해 이차방정식의 두 후보를 다시 확인한다. 그래프를 그릴 때는 (0,1)을 지나고 오른쪽으로 갈수록 내려가며, x축에 가까워지지만 닿지 않는다는 세 가지 특징도 식과 대조한다. 정답만 수정하는 대신, 밑의 범위와 치환한 값의 범위를 계산 줄에 남기는 방식이다.
새 계수에서 음의 후보를 끝까지 걸러내는가
검증 문제로
(1/3)^(2x)+2(1/3)^x-3=0
을 제시한다. 이번에도 t=(1/3)^x>0을 먼저 적으면
t²+2t-3=0
(t-1)(t+3)=0
에서 t=1만 허용된다. 따라서
(1/3)^x=1이므로 x=0이다.
t=-3을 답에 포함하지 않고, 0<1/3<1에 따른 감소함수라는 근거와 t>0이라는 범위를 풀이에 함께 남겼다면 새로운 계수에서도 같은 판단이 유지된 것이다.