고덕동고3수학과외

두 수열의 관계를 먼저 읽는 고덕동 고3 수학 학습

고덕동에서 광문고등학교, 배재고등학교, 서울컨벤션고등학교로 통학하는 고3 학생은 이동 시간과 과제 부담 때문에 풀이를 빠르게 끝내려는 경우가 있다. 이때 극한 문제에서 계산부터 시작하면 수열 사이의 관계와 결론의 범위를 놓치기 쉽다. 고덕주공6단지와 고덕주공9단지 생활권처럼 통학 동선이 달라도, 수열의 극한에서는 먼저 비교 가능한 조건을 고정해야 한다.

같은 극한값이라고 단정한 첫 풀이

학생은 다음 조건을 보고 풀이를 시작했다.

모든 자연수 n에 대하여 0≤a_n≤1/n일 때, lim_n→∞ a_n을 구하여라.

학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

오답: 0≤a_n≤1/n이고 1/n→0이므로 a_n=1/n이다. 따라서 lim_n→∞a_n=0.

최종 답 0은 맞지만, a_n=1/n이라고 놓은 부분은 틀렸다. 주어진 것은 두 수열의 값이 같다는 조건이 아니라, a_n이 0과 1/n 사이에 있다는 조건이다. 예를 들어 a_n=1/(2n)이나 a_n=1/n²도 조건을 만족하므로 a_n을 1/n으로 바꿀 수 없다.

부등식의 방향과 수렴값을 연결하는 수정

학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 각 항의 관계를 다시 확인했다.

• 하한 수열: 0
• 가운데 수열: a_n
• 상한 수열: 1/n
• 양 끝 수열의 극한: lim 0=0, lim 1/n=0

따라서 다음처럼 식을 다시 작성했다.

0≤a_n≤1/n

lim_n→∞0=0, lim_n→∞1/n=0

그러므로 샌드위치 정리에 의해 lim_n→∞a_n=0이다.

학생은 a_n=1/(2n)을 대입해 0≤1/(2n)≤1/n인지 확인하고, 실제로 두 수열이 같지 않아도 극한은 같을 수 있음을 검산했다. 또한 n=10일 때 0≤a₁₀≤0.1이므로 a₁₀의 값 자체를 0.1로 확정할 수 없다는 점도 확인했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 부호와 상한을 바꾸어 다음 문제를 풀었다.

모든 자연수 n에 대하여 -2/n≤b_n≤3/n일 때, lim_n→∞b_n을 구하여라.

이번에는 하한과 상한이 모두 0으로 수렴한다.

lim_n→∞(-2/n)=0, lim_n→∞(3/n)=0

따라서 -2/n≤b_n≤3/n에서 샌드위치 정리를 적용하면 lim_n→∞b_n=0이다. 처음 문제의 a_n과 b_n이 각각 1/n이나 3/n과 같다고 볼 수는 없지만, 양쪽에서 같은 값 0으로 좁혀진다는 관계가 핵심이다.

현재 학생은 외부 도움 없이 첫 줄의 조건을 해석하는 데 아직 불안정하지만, 비교 대상과 극한값을 표로 정리하면 발산 여부와 수렴값의 형태를 먼저 제한하는 풀이를 시작할 수 있다.