고덕동고1수학과외, 겹괄호의 안쪽·바깥쪽 부호를 분리하는 전개
고덕동에서 통학과 과제가 겹치는 고1 초반에는 계산을 빨리 끝내려는 습관이 다항식 전개에서 드러나기 쉽다. 특히 괄호가 두 겹이면 안쪽 괄호의 부호와 바깥 괄호가 전체에 미치는 부호를 따로 확인해야 한다.
숫자를 맞힌 뒤 부호를 추측한 풀이
다음 식을 전개해 보자.
3 - {2x - [5 - (x - 4)]}
학생은 안쪽의 숫자 5와 4를 먼저 보고 항을 정리한 뒤, 부호는 마지막에 붙였다. 답안에는 괄호의 부호를 표시한 흔적 없이 곧바로 다음 계산이 적혀 있었다.
3 - {2x - [5 - x - 4]} = 3 - {2x - 1 - x} = 3 - (x - 1) = 2 - x
이 식은 학생이 잘못 작성한 풀이이다. 5 - (x - 4)에서 바깥의 마이너스는 괄호 안의 두 항 모두에 곱해져야 하므로 5 - x + 4가 된다. 숫자를 먼저 묶고 부호를 감으로 정하면 이 지점에서 오류가 생긴다.
안쪽 괄호와 바깥 괄호를 각각 펼치기
먼저 가장 안쪽을 처리한다.
5 - (x - 4) = 5 - x + 4 = 9 - x
이 결과를 대괄호에 넣으면
3 - {2x - (9 - x)}
이번에는 대괄호 앞의 마이너스가 9 - x 전체에 적용된다.
2x - (9 - x) = 2x - 9 + x = 3x - 9
따라서 최종 결과는
3 - (3x - 9) = 3 - 3x + 9 = 12 - 3x
검산을 위해 x=1을 대입하면 원래 식은 3 - {2 - [5 - (1 - 4)]} = 3 - {2 - 8} = 9이다. 정리한 식 12 - 3(1)=9와 같으므로 전개가 맞다.
답안에 남겨야 할 부호의 이동
- 5 - (x - 4)에서는 안쪽 괄호 앞의 마이너스가 -x+4로 바뀐다.
- 2x - (9 - x)에서는 다시 -9+x로 바뀐다.
- 마지막 3 - (3x - 9)에서도 -3x+9가 된다.
각 괄호를 지우기 전에 “바깥 부호가 안의 모든 항에 적용되는가”를 말로 확인하게 했다. 숫자의 곱과 합을 먼저 찾는 대신, 괄호 앞 부호를 표시하고 한 겹씩 전개하는 방식이다. 같은 식의 정답만 다시 적게 하지 않고, 부호가 바뀐 항을 직접 표시해야 다음 단계로 넘어가도록 했다.
고덕동의 짧은 학습 시간에 적용한 기록
고덕주공6단지나 고덕주공9단지 주변에서 귀가한 뒤 학교 과제와 시험 준비를 함께 해야 하는 날에는 긴 풀이보다 한 문항의 처리 절차를 정확히 기록하는 편이 효율적이다. 광문고등학교·배재고등학교·서울컨벤션고등학교는 고덕동 지역 내 학교이고, 한영고등학교와 동북고등학교는 같은 강동구의 참고 학교이므로 학교별 경향을 단정하지 않고 공통 계산 행동만 점검했다.
문항을 풀다 부호 처리가 바로 떠오르지 않으면 답을 보고 넘어가지 않고 표시해 둔 뒤, 해결 가능한 뒤 문제로 이동하게 했다. 이후 돌아와 괄호를 한 겹씩 다시 전개한다. 문장제에서도 주어진 수가 모두 식에 들어가는 것은 아니므로, 실제 조건과 관계없는 수를 제외한 뒤 필요한 다항식만 세우도록 기록했다.
새 수치로 확인한 부호 절차
훈련 뒤 다음 식을 제시했다.
7 - {3y - [2 - (4 - y)]}
먼저 안쪽 괄호를 전개하면
2 - (4 - y) = 2 - 4 + y = y - 2
따라서
7 - {3y - (y - 2)}
3y - (y - 2)=3y-y+2=2y+2이므로 최종식은
7 - (2y+2)=5-2y
이때 학생이 괄호 앞의 부호를 먼저 표시하고, 안쪽과 바깥쪽을 구분해 전개했는지 확인했다. 또한 y=3을 대입하면 원래 식은 7-{9-[2-(1)]}=7-(9-1)=-1, 정리한 식은 5-6=-1이므로 결과도 일치한다.