강남구고2수학과외

0승과 음의 지수에서 밑을 먼저 판별하는 강남구 고2수학과외 학습

강남구에는 숙명여자고등학교, 경기고등학교, 중산고등학교 등 여러 학교가 있고, 개포동·대치동·논현동처럼 생활권과 주간 일정도 서로 다르다. 학교 프린트나 내신 서술형에서 지수법칙을 적용할 때는 계산 속도보다 밑이 허용되는지 설명하는 과정이 중요하다.

학생의 답안에서 시작된 오류

다음 식을 정리하는 과정에서 풀이가 멈췄다.

2⁰ = 1,   3^-2 = 1/9,   0⁰ = 1

앞의 두 계산은 맞지만 마지막 등식은 그대로 적용할 수 없다. 지수 0에 대한 법칙은 밑이 0이 아닌 경우에만 성립한다.

밑이 0이 아닐 때

a⁰ = 1  (a ≠ 0)

이고, 음의 정수 지수는

a^-n = 1/aⁿ  (a ≠ 0, n은 양의 정수)

로 정의한다. 따라서 0⁰은 이 법칙으로 1이라고 정할 수 없으며, 0^-2 = 1/0² 역시 분모가 0이므로 정의되지 않는다. 반면 양의 정수 지수에서는 0³ = 0이다.

계산을 이어가기 전에 붙이는 조건표

오류가 시작된 식부터 다음처럼 밑과 지수의 종류를 분리해 적는다.

0^m에서

• m > 0이면 0^m = 0
• m = 0이면 0⁰은 정의되지 않음
• m < 0이면 0^m은 정의되지 않음

예를 들어 (x-1)^-3을 계산한다면 곧바로 분수로 바꾸지 않고 먼저

x - 1 ≠ 0, 즉 x ≠ 1

을 적는다. 그 뒤에야

(x-1)^-3 = 1/(x-1)³

이라고 쓸 수 있다. 이미 풀이 중 0⁰ = 1을 적었다면 처음부터 다시 베끼지 않고 그 줄에서 멈춘 뒤, “밑이 0인 경우는 제외”라고 표시하고 이후 계산을 조건에 맞게 이어간다.

선택지 없이 근거까지 쓰는 확인 문제

다음 식의 값이 정의되는지, 정의된다면 값을 구해 보자.

(-2)⁰,   0⁴,   0^-1,   (1/3)^-2

확인 과정은 다음과 같다.

• (-2)⁰ = 1 : 밑이 0이 아니다.
• 0⁴ = 0 : 지수가 양의 정수이다.
• 0^-1 : 1/0이 되어 정의되지 않는다.
• (1/3)^-2 = 1/(1/3)² = 9 : 밑이 0이 아니므로 음의 지수 법칙을 적용할 수 있다.

이처럼 답만 적지 않고 밑이 0인지, 지수가 양수·0·음수 중 어디에 해당하는지를 함께 남겨야 조건이 바뀌어도 같은 법칙을 무리하게 적용하지 않게 된다.