강남구고1수학과외, 동류항을 차수와 문자 부분으로 가려내기
대치동이나 개포동에서 학교 프린트를 정리할 때, 식을 빠르게 줄이는 과정에서 항의 모양만 보고 묶는 경우가 있다. 그러나 동류항은 비슷하게 보이는 항이 아니라 차수와 문자 부분이 모두 같은 항이다.
“x²와 2x를 합쳐도 되나요?”
다음 식을 정리하는 장면을 살펴보자.
3x² + 2x - 5 + x² - 4x + 1
학생은 항 위에 별도 표시를 하지 않은 채 x²와 2x를 먼저 묶어 5x²로 적었다. 이어 x²와 -4x도 비슷한 문자라는 이유로 처리하려 했고, 오답표에는 왜 처음 묶은 판단이 잘못되었는지 기록되지 않았다.
계수보다 먼저 비교할 두 가지
항을 비교할 때는 숫자 계수보다 먼저 문자 부분과 차수를 확인한다.
- 3x², x²: 문자 부분은 x이고 차수는 2이므로 동류항이다.
- 2x, -4x: 문자 부분은 x이고 차수는 1이므로 동류항이다.
- x², 2x: 문자 부분은 같아 보여도 차수가 각각 2와 1이므로 동류항이 아니다.
- -5, 1: 문자가 없는 상수항끼리이므로 동류항이다.
따라서 계수만 계산하면
(3+1)x² + (2-4)x + (-5+1) = 4x² - 2x - 4
가 된다. x²는 제곱된 항이고 2x는 일차항이므로 두 항을 합치면 안 된다. 실제로 x=1을 대입하면 원래 식은 3+2-5+1-4+1=-2이고, 정리한 식도 4-2-4=-2이다. 반면 x²와 2x를 잘못 묶은 식은 이 값을 보존하지 못한다.
풀이 시작 전에 남겨야 할 표시
이 학생에게 필요한 수정은 긴 풀이를 추가하는 것이 아니라, 항을 묶기 전 구별 과정을 눈에 보이게 만드는 것이다. 문제를 받으면 각 항 위에 다음처럼 표시한다.
- 3x², x²에는 ‘x²항’ 표시
- 2x, -4x에는 ‘x항’ 표시
- -5, 1에는 ‘상수항’ 표시
그 뒤 같은 표시끼리만 괄호로 묶는다.
(3x²+x²) + (2x-4x) + (-5+1)
학생이 식을 보자마자 이 표시부터 남기고, 차수와 문자 부분이 모두 같은 항만 계산한다면 이전의 오답이 생기는 지점을 직접 차단할 수 있다.
학교 일정 속에서 확인한 학습 상태
숙명여자고등학교, 경기고등학교 등 학교별로 프린트 정리나 지필평가 대비 시간이 달라질 수 있지만, 이 문제는 풀이 속도보다 항을 분류하는 순서가 관찰 대상이다. 현재 학생은 계산 자체를 전혀 못하는 상태라기보다, 동류항 판별 전에 계산을 시작하는 전환 단계에 있다. 따라서 오답을 고칠 때도 답만 다시 쓰게 하지 않고 표시가 먼저 남았는지를 확인한다.
숫자가 바뀐 식에서 순서를 스스로 정하는가
훈련 뒤에는 다음 식을 제시한다.
5a² - 3a + 7 - 2a² + 6a - 4
누가 묶을 항을 알려주지 않았을 때 학생이 먼저 a²항, a항, 상수항을 표시하는지 본다. 올바른 정리는
(5-2)a² + (-3+6)a + (7-4) = 3a² + 3a + 3
이다. 답만 맞히는지보다 풀이 시작 전에 조건 표시가 남는지가 확인 기준이다. 이 행동이 나타나야 새로운 문자와 숫자에서도 동류항 판별 절차가 스스로 작동한다고 볼 수 있다.