청담동중3수학과외, 수직선 위 실수의 위치와 조건을 판별하는 연습
수직선에 점 A, B, C가 표시된 문제에서 학생이 먼저 한 일은 눈금을 세는 것이었다. A가 -2와 -1 사이에 있고 B가 1과 2 사이에 있다는 사실은 읽었지만, 문제에서 요구한 “정수인 점”, “0에서 거리가 같은 점”, “무리수인 점”이라는 조건은 따로 표시하지 않았다. 결국 위치는 대략 맞혔지만 조건에 맞는 점을 고르는 단계에서 답을 바꾸었다.
수직선 위 실수 문제는 점의 위치만 보는 문제가 아니다. 각 점이 나타내는 수의 종류와 0으로부터의 거리, 양수와 음수의 방향을 함께 판단해야 한다. 청담중학교 문제를 준비할 때도 단순히 눈금 읽기를 반복하기보다, 학생이 어느 조건을 놓쳤는지 확인한 뒤 같은 수직선을 여러 기준으로 다시 읽게 하는 과정이 필요하다.
눈금보다 먼저 확인해야 할 세 가지
학생이 다음과 같은 수직선을 보고 있다고 하자.
수직선에서 A는 -3과 -2 사이, B는 -1, C는 0과 1 사이에 있다. 세 점 중 정수인 점과 0에서 거리가 1보다 큰 점을 각각 고르시오.
처음 풀이에서 학생은 “B는 -1이니까 정수이고, A와 C는 모두 0에서 멀리 떨어져 있다”고 적었다. 여기서 C는 0과 1 사이에 있으므로 0에서의 거리가 1보다 작다. A는 -3과 -2 사이이므로 절댓값이 2보다 크고 3보다 작아 0에서의 거리가 1보다 크다. 따라서 첫 번째 조건의 답은 B이고, 두 번째 조건의 답은 A이다.
이때 필요한 첫 행동은 점의 위치를 읽은 뒤 조건을 식으로 바꾸는 것이다. “0에서 거리가 1보다 크다”는 말은 |x|>1로 바꿀 수 있다. 음수 쪽에 있는 수라도 거리를 음수로 쓰지 않는다. 예를 들어 x=-2.4이면 0에서의 거리는 2.4이고, |x|=2.4이다. 학생이 “-2.4는 1보다 작으므로 조건에 맞지 않는다”고 판단했다면, 수의 대소와 거리의 대소를 섞은 것이다.
-와 +의 방향, 거리의 크기를 분리해서 읽기
수직선에서 왼쪽에 있을수록 수 자체는 작아지지만 0에서 멀어지는지는 별도로 확인해야 한다. -5는 -2보다 작지만 0에서의 거리는 더 크다. 반대로 0.6은 0보다 크고 오른쪽에 있지만 0에서의 거리는 1보다 작다.
학생에게는 각 점 아래에 다음처럼 짧은 표기를 하게 했다.
- 왼쪽 또는 오른쪽: 수의 부호 확인
- 0에서 몇 칸 떨어졌는가: 거리 확인
- 정수, 유리수, 무리수 중 무엇인가: 수의 종류 확인
- 문제의 조건과 일치하는가: 마지막 판정
예를 들어 -√2가 표시된 점은 0의 왼쪽에 놓이지만, 그 거리는 √2이다. √2는 1보다 크고 2보다 작으므로 -√2는 -2와 -1 사이에 있다. 학생이 “마이너스가 있으니 √2보다 작다”에서 멈추면 위치는 설명할 수 있어도 거리 조건을 판단하지 못한다. 이때는 “부호는 방향, 절댓값은 거리”라고 나누어 말한 다음, -√2의 절댓값이 √2임을 식으로 적게 한다.
정수와 유리수 조건을 점의 모양으로 추측하지 않기
수직선에서 눈금 사이에 놓였다고 해서 반드시 무리수인 것은 아니다. 1과 2 사이에는 3/2 같은 유리수도 있고 √2 같은 무리수도 있다. 따라서 점이 눈금 사이에 있다는 사실만으로 수의 종류를 결정하면 안 된다.
학생의 오답은 다음과 같았다.
√9는 근호가 있으므로 무리수이고, 3/2는 정수이다.
√9=3이므로 √9는 정수이며 유리수이기도 하다. 3/2는 두 정수의 비로 나타낼 수 있지만 정수는 아니다. 이 장면에서 수정 행동은 분류표를 외우는 것이 아니라 실제 수를 먼저 바꾸어 쓰는 것이다. √9처럼 제곱근이 정확히 계산되는 수는 계산한 뒤 분류하고, 3/2처럼 분모가 1이 아닌 수는 정수 여부를 확인한다.
수직선 위에서 두 점의 위치 관계를 물을 때도 같은 원칙을 적용한다. -√3과 √3은 0을 기준으로 좌우에 있고, 0에서의 거리는 같다. 따라서 두 점은 0에 대하여 대칭이다. 학생이 “√3이 더 큰 수이므로 더 멀다”고 답했다면 수의 대소와 원점으로부터의 거리를 구분하지 않은 것이다. 실제로 |-√3|=|√3|=√3이다.
조건을 부등식으로 옮긴 뒤 점을 선택한다
“x는 -2 이상 1 미만”이라는 조건은 -2≤x<1로 적는다. 이때 -2는 포함되고 1은 포함되지 않는다. 수직선에서는 -2에 닫힌 점, 1에 열린 점을 표시한다. 학생은 처음에 양 끝점을 모두 닫힌 점으로 그렸는데, ‘미만’이라는 말을 끝점 포함으로 읽은 것이 원인이었다.
조건을 읽을 때는 문장 속 표현을 표시한다.
- 이상, 이하: 경계값 포함
- 초과, 미만: 경계값 제외
- 0에서의 거리: 절댓값으로 변환
- 두 수 사이: 순서를 확인하고 양 끝 포함 여부를 따로 판단
예를 들어 |x|≤2라면 -2≤x≤2이고, 수직선에서는 -2부터 2까지의 구간 전체가 해당한다. |x|>2라면 x<-2 또는 x>2이므로 가운데 구간이 아니라 양쪽 바깥 부분이다. 학생이 |x|>2를 -2<x<2로 그렸다면, 절댓값 조건을 거리 조건으로 해석하지 않고 단순한 범위로 바꾼 것이다. 이 경우 0, 1, -1을 대입해 조건을 만족하는지 먼저 확인하게 하면 그림의 방향을 바로잡을 수 있다.
청담동의 생활 리듬에 맞춘 짧은 판별 훈련
청담동에는 청담삼익아파트와 청담자이아파트처럼 주거지 위치가 다르고, 압구정로데오 주변처럼 이동 동선이 다른 생활 공간도 있다. 같은 청담동에서 청담중학교까지의 이동과 방과 후 일정은 학생마다 다를 수 있으므로, 긴 문제 세트를 일률적으로 배정하기보다 이동 전후에 가능한 학습 시간을 구분해 사용하는 편이 현실적이다. 이동이 있는 날에는 수직선 그림에서 부호·거리·끝점 포함 여부만 말로 판별하고, 시간이 확보되는 날에는 그 판단을 부등식으로 옮긴 뒤 직접 수직선을 그리게 한다. 강남구 내 개원중학교, 개포중학교, 구룡중학교, 단국대학교사범대학부속중학교는 참고할 수 있는 같은 구의 학교이며 청담동 소재 학교로 섞어 표현하지 않는다.
짧은 훈련에서도 학생의 행동은 구체적으로 확인한다. 점의 좌우를 먼저 표시하는지, 0에서의 거리를 절댓값으로 쓰는지, 열린 점과 닫힌 점을 조건에 맞게 구분하는지를 본다. 답만 맞고 이 세 행동 중 하나를 생략했다면 다음 변형 문제에서 다시 흔들릴 수 있다.
숫자와 조건을 바꾼 독립 확인
마지막에는 앞의 문제를 그대로 다시 주지 않고 조건을 바꾸었다.
수직선 위의 수 x가 -√5와 √5 사이에 있고, 0에서의 거리가 2 이상이다. x가 될 수 있는 정수는 무엇인가?
학생은 먼저 -√5<x<√5를 적었다. √5는 2보다 크고 3보다 작으므로 정수 후보는 -2, -1, 0, 1, 2이다. 이어 |x|≥2를 적용하여 -2와 2를 남겼다. 처음에는 “-2는 왼쪽 수이므로 탈락”이라고 했지만, 다시 |-2|=2를 계산해 포함시켰다. 이번에는 방향과 거리를 분리하고, 이상 조건의 경계값도 확인했다.
수직선 위 실수 문제에서 독립적으로 적용했다는 기준은 정답을 기억하는 데 있지 않다. 새로운 수가 나오고, 부호가 바뀌고, ‘이상’과 ‘초과’가 달라졌을 때도 위치를 읽은 뒤 절댓값과 끝점 조건을 스스로 꺼내는지에 있다.