청담동중2수학과외, 평행선 선분비에서 대응 위치를 바꾸어 비례식 세우기
평행선과 선분의 길이를 다루는 문제에서 학생이 막히는 지점은 계산보다 시작점인 경우가 많다. 그림 속 숫자를 전부 식에 넣으려 하거나, 위쪽 선분과 아래쪽 선분의 위치를 그대로 맞추지 못하면 비례식이 틀어진다. 청담동중2수학과외에서는 정답을 빨리 구하는 것보다 ‘무엇을 구하는가’와 ‘어떤 선분끼리 대응하는가’를 먼저 정리한다.
숫자가 많다고 모두 사용하는 것은 아니다
예를 들어 삼각형 ABC에서 D는 AB 위, E는 AC 위에 있고 DE가 BC와 평행하다고 하자. AD=4, DB=6, AE=5, EC=7, DE=3이라는 조건이 주어졌을 때, DE와 평행한 선분의 길이나 닮음 관계를 묻는 문제에서 모든 숫자를 한꺼번에 식에 넣으면 안 된다.
AD와 AB를 비교하려면 AB=AD+DB=10을 먼저 확인해야 한다. 반대로 작은 삼각형과 큰 삼각형의 닮음비를 이용해 AE와 AC를 비교하려면 AC=AE+EC=12가 필요하다. 질문이 ‘AD와 AB의 비’를 묻는다면 4와 10이 핵심이고, DE의 길이 3은 그 계산에 직접 필요하지 않을 수 있다.
문제의 숫자 수와 식에 들어갈 숫자 수는 같지 않다. 구할 것에 연결되는 선분만 고른다.
청담동 학생의 실제 오답 장면
한 학생은 다음과 같은 그림에서 AD=6, DB=4, AE=9, EC=6, DE∥BC 조건을 보고 “6:4=9:6”이라고 적었다. 계산 결과는 6/4와 9/6이 달라 비례식이 성립하지 않는다. 학생은 숫자를 빠짐없이 사용했다는 점을 근거로 식을 맞게 세웠다고 생각했다.
하지만 대응되는 관계는 작은 삼각형과 큰 삼각형의 같은 위치 선분을 비교하는 것이다. AB=6+4=10, AC=9+6=15이므로 작은 삼각형과 큰 삼각형의 닮음비는 AD:AB=6:10=3:5이고 AE:AC=9:15=3:5이다. 4와 6은 각각 남은 선분이므로 처음부터 서로 대응하는 위치에 놓을 수 없다.
이 오답은 단순 계산 실수가 아니다. 첫째, 구할 대상을 표시하지 않았다. 둘째, 선분의 부분과 전체를 구분하지 않았다. 셋째, 평행선이 만든 닮음에서 대응 위치를 확인하지 않고 그림에 보이는 숫자를 순서대로 연결했다. 시험 후 ‘실수’라고만 적으면 같은 방식의 오답이 다시 생긴다.
비례식을 세우기 전 세 줄 표시
먼저 문제에서 구할 것을 동그라미로 묶는다. 길이를 구하는지, 비를 구하는지, 닮음비를 구하는지에 따라 필요한 선분이 달라진다. 다음으로 평행선으로 나뉜 작은 도형과 큰 도형을 구분하고, 대응하는 꼭짓점과 선분에 같은 표시를 한다.
- 작은 도형의 선분과 큰 도형의 선분을 각각 묶는다.
- 부분 선분이면 전체 길이를 더해 만든다. 예: AB=AD+DB.
- 비례식의 양쪽에 같은 종류의 선분을 놓는다.
- 식에 넣지 않은 숫자가 있다면 ‘현재 구할 것과 직접 관계없음’이라고 옆에 적는다.
예를 들어 AD=6, DB=4, AE=9, EC=6일 때 AD와 AB의 비를 구한다면 6:(6+4)=3:5로 정리한다. AE와 AC의 비는 9:(9+6)=3:5이다. 두 비가 같다는 사실은 DE∥BC 조건과도 맞는다. 이처럼 계산 전에 선분의 위치와 전체 길이를 먼저 적으면 숫자를 억지로 모두 사용하는 습관을 줄일 수 있다.
문제집을 고르는 시작점도 조정한다
현재 학생은 일차함수와 연립방정식이 그래프에서 연결되기 시작하면서, 혼자 문제를 분류하고 질문을 만들어야 하는 단계에 들어섰다. 이때 평행선과 선분비에서 계속 틀리는데도 선행 단원으로 넘어가면 현행 오답의 원인을 확인할 시간이 줄어든다.
따라서 새 문제집의 가장 어려운 유형부터 시작하지 않는다. 학교 프린트에서 평행선이 표시된 기본 그림을 골라 대응 선분 표시, 전체 길이 계산, 비례식 작성의 세 단계로 나눈다. 한 세트를 끝낸 뒤에야 변형 문제로 이동한다. 청담중학교와 같은 지역의 학생이라도 청담삼익아파트나 청담자이아파트 등 생활 위치와 이동 시간에 따라 공부 가능한 시간이 다르므로, 피곤한 날에는 고난도 문제보다 그림 표시와 식 분류를 배치한다.
청담동 내 중학교로 확인되는 곳은 청담중학교이며, 개원중학교·개포중학교·구룡중학교·단국대학교사범대학부속중학교는 같은 강남구의 참고 학교다. 이 학교들을 청담동 소재 학교로 단정하지 않고, 실제 지도와 수업 자료는 학생이 다니는 학교의 프린트와 시험 범위를 기준으로 정한다.
새 숫자와 새 위치로 확인하기
같은 문제의 숫자만 바꾸어 다시 맞히게 하는 것은 충분한 검증이 아니다. 다음에는 평행선의 위치를 바꾼 그림을 사용한다. 예를 들어 AD=3, DB=5, AE=6, EC=10이고 DE∥BC라면 AD:AB=3:8, AE:AC=6:16=3:8이다. 여기서는 작은 삼각형의 두 변을 먼저 비교한 뒤 전체 길이를 구성해야 한다.
또 다른 문제에서는 그림에 장식용으로 주어진 DE의 길이를 포함하고, 실제 질문은 AE의 길이를 묻게 한다. 학생이 DE를 무조건 식에 넣는지, 구할 선분과 대응 관계를 먼저 찾는지 확인한다. 제한 시간도 둔다. 5분 안에 조건 표시, 필요한 수량 분류, 비례식, 답의 단위를 순서대로 작성하는지 본다.
마지막으로 ‘왜 이 비례식이 맞는가’를 한 문장으로 쓰게 한다. “DE가 BC와 평행하므로 작은 삼각형과 큰 삼각형은 닮음이고, 대응하는 변의 비가 같다”처럼 도형 근거까지 제시해야 독립적으로 해결한 것으로 판단한다.
청담동중2수학과외에서 확인하는 질문
- Q. 숫자가 남으면 틀린 것 아닌가요?
- A. 아닙니다. 구할 것과 대응 관계에 직접 필요한 숫자만 사용합니다. 남은 조건은 관계를 확인하는 자료일 수 있습니다.
- Q. 부분 선분과 전체 선분은 어떻게 구별하나요?
- A. 한 변 전체가 여러 부분으로 나뉘었다면 먼저 합을 적습니다. AD와 DB가 나뉜 AB라면 AB=AD+DB입니다.
- Q. 같은 문제를 다시 맞히면 충분한가요?
- A. 아닙니다. 숫자와 평행선 위치, 구할 대상을 바꾼 문제에서 대응 표시와 식 세우기를 다시 확인해야 합니다.
평행선 선분비의 핵심은 복잡한 계산이 아니라 문제를 읽고 시작점을 정하는 습관이다. 청담동중2수학과외에서는 모든 숫자를 식에 넣는 행동을 멈추고, 구할 것·대응 선분·전체 길이를 분리해 기록하게 한다. 그 뒤 새로운 그림과 조건에서도 같은 판단을 재현하는지 확인한다.