자곡동 고3 수학과외: 절댓값 수열의 수렴 조건을 새 범위에서 판별하기
자곡동에서 고3 수학을 공부하는 학생은 풍문고등학교를 중심으로 귀가 시각과 과제량을 조절하면서 시험 준비 순서를 점검하고 있다. 이번 학습에서는 이전 문제의 경계값을 반복하지 않고, 절댓값이 포함된 등비급수의 수렴 조건을 새로 세우는 데 초점을 맞췄다.
이전 경계를 그대로 옮긴 오답
다음 급수가 수렴하도록 하는 실수 \(x\)의 범위를 구한다.
\[ \sum_{n=1}^{\infty}3\left|\,\frac{x-2}{4}\,\right|^{n} \]
학생은 앞에서 풀었던 \(\sum |(x-1)/3|^n\)의 경계 \(-2<x<4\)를 그대로 적용하여
\[ -2<x<4 \]
라고 답했다. 이 식은 틀린 답이다. 등비급수의 첫째항에 붙은 \(3\)은 수렴 여부를 바꾸지 않지만, 공비의 절댓값은
\[ r=\left|\frac{x-2}{4}\right| \]
로 새롭게 계산해야 한다. 무한등비급수는 \(|r|<1\)일 때만 수렴하므로, 이전 문제의 경계값을 사용할 수 없다.
변수와 조건을 다시 나누는 풀이
학생은 오답 줄에 표시한 뒤 공비와 계수를 분리해 적었다.
\[ \sum_{n=1}^{\infty}3\left|\frac{x-2}{4}\right|^n =3\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{x-2}{4}\right|^n \]
따라서 수렴 조건은
\[ \left|\frac{x-2}{4}\right|<1 \]
이고, 양변에 양수 \(4\)를 곱하면
\[ |x-2|<4 \]
이다. 절댓값 부등식을 두 경우로 나누면
\[ -4<x-2<4 \]
이므로
\[ \boxed{-2<x<6} \]
을 얻는다. \(x=-2\)이면 공비의 절댓값이 \(1\), \(x=6\)이어도 공비의 절댓값이 \(1\)이므로 일반항이 \(0\)으로 가지 않거나 일정한 값이 되어 급수는 수렴하지 않는다. 따라서 양 끝값은 포함하지 않는다.
대입과 역검산으로 후보 제거하기
- \(x=1\)일 때 \(r=|{-1}/{4}|=1/4\)이므로 수렴한다.
- \(x=5\)일 때 \(r=3/4\)이므로 수렴한다.
- \(x=6\)일 때 \(r=1\)이므로 발산한다.
- \(x=7\)일 때 \(r=5/4>1\)이므로 발산한다.
학생은 특히 \(x=6\)을 대입해 경계값이 포함될 수 없음을 확인했다. 절댓값 안의 식을 수직선에 나타내면 중심은 \(2\), 반지름은 \(4\)이므로 가능한 구간이 \((-2,6)\)이라는 것도 함께 확인했다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 다음 문제를 새로 제시했다.
\[ \sum_{n=0}^{\infty}5\left|\frac{2x+1}{3}\right|^n \]
이 급수의 수렴 조건은 계수 \(5\)가 아니라 공비에 의해 결정되므로
\[ \left|\frac{2x+1}{3}\right|<1 \]
이다. 즉,
\[ |2x+1|<3 \quad\Longrightarrow\quad -3<2x+1<3 \]
이므로
\[ \boxed{-2<x<1} \]
이다. \(x=-2\)에서는 공비가 \(-1\), \(x=1\)에서는 공비가 \(1\)이 되어 두 끝값 모두 수렴 조건에서 제외된다. 학생은 잘못된 후보 \(x=-3,\,2\)를 직접 대입하여 공비의 절댓값이 \(1\)보다 커짐을 확인하고 제거했다.