23·42를 85로 합치면 안 되는 이유
자곡동고2수학과외에서 지수식을 점검할 때는 계산 속도보다 먼저 ‘같은 밑인가’를 확인한다. 풍문고등학교 과제와 시험 준비가 겹치는 시기에도 식을 한 줄씩 변형한 근거가 남아 있어야 다음 조건이 바뀌었을 때 풀이가 흔들리지 않는다.
예를 들어 다음 식을 계산한다고 하자.
23·42
답안에 85라고 적었다면, 23과 42를 각각 계산하지 않고 밑과 지수를 동시에 합친 셈이다. 그러나 곱셈의 지수법칙 am·an=am+n은 밑이 같을 때만 사용할 수 있다. 여기서는 밑이 2와 4로 다르므로 바로 적용할 수 없다.
먼저 밑을 통일한 뒤 지수를 더하기
4를 22로 바꾸면 식의 기준 밑이 같아진다.
23·42 =23·(22)2 =23·24 =27 =128
따라서 85=32768이라는 잘못된 결과와 달리 정확한 값은 128이다. 학생의 풀이 줄을 지우기보다 그 옆에 “밑 2와 4가 다름”이라고 적고, 42를 2를 밑으로 바꾸는 과정을 추가하게 하면 누락된 판단이 답안에 드러난다.
계수와 부호가 섞인 식에서 같은 판단 유지하기
밑을 통일하는 과정은 계수나 부호가 달라져도 변하지 않는다.
-3·22·43을 계산할 때는 -3을 지수의 밑으로 보지 않는다.
-3·22·43 =-3·22·(22)3 =-3·22·26 =-3·28 =-768
계수 -3은 그대로 앞에 남고, 지수법칙은 밑이 통일된 22와 26에만 적용된다. 이 구분이 없으면 -3까지 밑으로 묶거나 부호를 지수 안으로 옮기는 오류가 생긴다.
표의 기준을 식으로 옮기는 확인
마지막에는 같은 식을 다시 계산하지 않고, 밑의 변환 근거를 표에서 읽어 식에 반영하게 한다.
| 원래 밑 | 공통 밑 | 변환 |
|---|---|---|
| 9 | 3 | 9=32 |
| 27 | 3 | 27=33 |
표를 이용해 92·27을 정리하면
92·27 =(32)2·33 =34·33 =37
가 된다. 여기서 확인할 것은 숫자 9와 27을 임의로 합치는 일이 아니라, 표의 공통 밑 3을 사용해 각 지수를 먼저 바꾸었는가이다. 새로운 계수와 부호가 붙은 식에서도 이 변환 줄을 남긴다면 밑이 다른 지수식 계산과 지수법칙 적용을 구분할 수 있다.