절댓값 수열의 수렴에서 첫 오류 줄 찾기
일원동에서 고3 수학 과외를 진행하는 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 따로 기록하고, 평일 귀가 후에는 수열의 극한 오답을 한 줄씩 되짚는 방식으로 학습하고 있다. 특히 중산고등학교, 중동고등학교, 서울로봇고등학교가 일원동 내에 있고, 숙명여자고등학교와 단국대학교사범대학부속고등학교는 같은 강남구의 참고 학교로 구분해 학습 일정을 세웠다.
부호를 양수로 바꾼 순간
학생이 다음 수열의 성질을 판단하면서 작성한 답안은 다음과 같았다.
문제: \(a_n=\dfrac{(-1)^n}{n+2}\)일 때 \(\lvert a_n\rvert\to0\)임을 이용하여 \(a_n\)의 수렴을 설명하시오.
\(\lvert a_n\rvert=\dfrac{1}{n+2}\to0\)
따라서 \(a_n\)은 항상 양수이고 \(a_n\to0\)이다.
오류는 두 번째 줄 다음에 붙인 “항상 양수”라는 판단이다. \(n\)이 홀수이면 \((-1)^n=-1\)이므로 \(a_n<0\)이고, \(n\)이 짝수이면 \(a_n>0\)이다. 절댓값이 0으로 수렴한다는 사실은 원래 수열의 부호가 양수라는 뜻이 아니다.
조건과 변수를 다시 연결한 교정
학생은 틀린 문장에 밑줄을 긋고, \(a_n\)의 부호를 결정하는 변수와 크기를 결정하는 변수를 분리했다.
- \((-1)^n\): 항의 부호를 결정한다.
- \(\dfrac{1}{n+2}\): 항의 절댓값을 결정한다.
따라서 정확한 식은
\(\lvert a_n\rvert=\left\lvert\dfrac{(-1)^n}{n+2}\right\rvert=\dfrac{1}{n+2}\to0\)
이다. 그리고 부등식
\[ -\lvert a_n\rvert\le a_n\le\lvert a_n\rvert \]
를 적용하면 양 끝이 모두 0으로 수렴하므로 샌드위치 정리에 의해 \(a_n\to0\)이다. 즉, 부호가 교대로 바뀌어도 항의 크기가 0에 가까워지면 수열 전체의 극한은 0이다.
처음부터 다시 쓰는 대신 학생은 오류가 발생한 줄을 표시한 뒤, 짝수와 홀수 항을 직접 대입했다.
- \(a_2=\dfrac14>0\)
- \(a_3=-\dfrac15<0\)
- \(a_4=\dfrac16>0\)
부호가 양수라는 주장은 즉시 반례로 무너지고, \(\lvert a_n\rvert\)의 극한과 \(a_n\)의 부호를 별개의 조건으로 확인해야 한다는 점이 드러난다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 수열로 개념을 확인했다.
\(b_n=\dfrac{\lvert 3-2n\rvert}{n+1}\)
\(n\ge2\)이면 \(3-2n<0\)이므로
\[ \lvert3-2n\rvert=2n-3 \]
이다. 따라서
\[ b_n=\frac{2n-3}{n+1} =\frac{2(n+1)-5}{n+1} =2-\frac5{n+1}\to2. \]
여기서는 절댓값 안의 식이 음수라는 조건을 확인하지 않으면 \(\lvert3-2n\rvert=3-2n\)으로 잘못 바꾸게 된다. 실제로 \(b_2=\frac13\), \(b_3=\frac34\), \(b_{10}=\frac{17}{11}\)이고, \(2\)에 가까워지므로 계산과 극한값이 일치한다. 절댓값은 부호를 없애지만, 수열의 극한이 반드시 0이 되거나 원래 항이 양수가 된다는 뜻은 아니다.