일원동고2수학과외, 밑이 다를 때 지수법칙을 적용하는 순서
“\(2^3\cdot4^2=8^5\)”라는 한 줄은 계산 실수라기보다 밑을 확인하지 않고 지수법칙을 건너뛴 흔적이다. 일원동에서 학교별 시험 범위와 수행평가, 평일 귀가 시간을 함께 조정할 때도 이런 풀이 한 줄을 그대로 넘기지 않고 어느 단계에서 관계가 끊겼는지 확인해야 한다. 일원동에는 중산고등학교, 중동고등학교, 서울로봇고등학교가 있으며, 숙명여자고등학교와 단국대학교사범대학부속고등학교는 같은 강남구의 참고 학교로 구분된다.
8과 4를 새로운 밑으로 합친 순간
지수의 곱셈 법칙 \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)은 밑이 같을 때만 사용할 수 있다. 따라서
\[ 2^3\cdot4^2 \]
에서는 먼저 \(4=2^2\)로 바꾸어 밑을 통일해야 한다.
\[ 2^3\cdot4^2 =2^3\cdot(2^2)^2 =2^3\cdot2^4 =2^7 =128 \]
학생이 적은 \(8^5\)는 \(2^3\)과 \(4^2\)의 밑과 지수를 각각 합친 형태지만, 그런 지수법칙은 존재하지 않는다. 실제 값도 \(8^5=32768\)이므로 원래 식과 다르다. 오류를 지울 때는 답만 고치지 말고 “밑이 달라 바로 지수를 합칠 수 없음”이라고 해당 줄 옆에 적은 뒤, \(4=2^2\)를 넣은 줄부터 수정한다.
밑을 통일한 뒤에만 지수를 비교한다
예를 들어 다음 식을 계산해 보자.
\[ \frac{3^4\cdot9^2}{27} \]
밑을 3으로 통일하면
\[ \frac{3^4\cdot(3^2)^2}{3^3} =\frac{3^4\cdot3^4}{3^3} =3^{4+4-3} =3^5 =243 \]
여기서 \(3^4\cdot9^2\)를 \(12^6\)처럼 합치면 안 된다. 곱셈에서 지수를 더하는 것은 밑이 동일한 \(3^4\cdot3^4\)로 바꾼 다음의 판단이다. 밑의 변환 줄을 남겨야 계산 근거가 드러난다.
정의역 밖 후보를 마지막에 제거하는 확인
분수 지수가 포함되면 밑의 조건도 함께 적어야 한다. 다음 식을 실수 범위에서 풀어 보자.
\[ (x-1)^{\frac12}(x-1)^{\frac32}=x-1 \]
두 분수 지수가 실수가 되려면 \(x-1>0\), 즉 \(x>1\)이어야 한다. 이 조건에서 밑을 같게 하여
\[ (x-1)^{\frac12+\frac32}=x-1 \] \[ (x-1)^2=x-1 \]
를 얻는다. 대수적으로는 \(x-1=0\) 또는 \(x-1=1\)이므로 \(x=1,2\)가 나온다. 그러나 \(x=1\)은 분수 지수의 밑이 0이 되어 처음 조건 \(x>1\)을 만족하지 않는다. 따라서 최종 해는 \(x=2\)이다. \(x=2\)를 원래 식에 넣으면 양변이 모두 1이 되어 조건과 계산을 함께 통과한다.
이처럼 풀이 중간에 밑을 통일하는 줄을 생략하면 법칙의 적용 대상이 사라진다. 식 위에 먼저 “밑 확인 → 밑 통일 → 지수 계산 → 정의역 검산”을 표시하고, 다음 문제에서는 이 순서를 스스로 재현해야 한다.
새 밑과 분수 지수가 함께 나온 경우
마지막으로
\[ (x+2)^{\frac13}(x+2)^{\frac23}=x+2 \]
를 확인한다. 세제곱근은 실수에서 음의 밑도 가능하지만, \((x+2)^{2/3}\)와 곱을 지수법칙으로 다루려면 밑의 의미를 분명히 하며 계산해야 한다.
\[ (x+2)^{1/3+2/3}=x+2 \] \[ x+2=x+2 \]
따라서 이 식은 \(x\)가 정의되는 모든 실수에서 성립한다. 특히 \(x=-2\)도 제외하지 않는다. 앞 문제의 \(x=1\)처럼 분수 지수의 밑이 0이라는 이유만으로 항상 후보를 제거하는 것이 아니라, 지수의 분모가 짝수인지와 실제 정의 가능 범위를 구분해야 한다. 밑이 다른 식을 만났을 때 임의로 하나의 밑으로 합치지 않고, 변환한 근거와 정의역을 끝까지 남기는지가 새로운 조건에서도 유지되는지 확인할 수 있다.