압구정동고3수학과외

압구정동 고3수학과외에서 확인한 발산 방향의 재계산

압구정고등학교, 청담고등학교, 현대고등학교가 있는 압구정동에서는 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 풀이를 이어 가는 리듬이 달라질 수 있다. 이 학생은 압구정로데오 생활권에서 짧게 복습한 뒤, 수열의 조건과 발산 방향을 다시 계산하는 연습을 진행했다.

기억한 중간식을 먼저 쓴 오류

다음 수열의 수렴 또는 발산을 판단한다.

a_n = (3n² - 5n + 1)/(n - 2),   n ≥ 3

학생은 질문의 방향이 수렴 판단에서 발산 판단으로 바뀌자 범위 n ≥ 3을 다시 확인하지 않고, 이전에 외운 나눗셈 결과를 먼저 적었다.

a_n = 3n + 1 - 3/n - 2

이 식은 오답이다. 실제로 (n - 2)(3n + 1) = 3n² - 5n - 2이므로 원래 분자의 나머지는 3이다. 따라서 부호가 아니라 나머지 항까지 정확히 확인해야 한다.

조건과 최고차항으로 발산 방향 수정하기

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 변수의 범위와 분모의 부호를 확인했다. n ≥ 3이면 n - 2 ≥ 1이므로 분모는 양수이고, 끝점 n = 3도 포함된다. 이후 다항식 나눗셈을 다시 계산했다.

3n² - 5n + 1 = (n - 2)(3n + 1) + 3

a_n = 3n + 1 + 3/n - 2

n이 무한히 커지면 3n + 1은 무한대로 커지고, 3/(n - 2)는 0에 가까워진다. 따라서

lim_n→∞a_n = +∞

이다. n = 3을 대입하면 원래 식은 13이고 수정한 식도 3·3 + 1 + 3 = 13이므로 계산을 검산할 수 있다. 학생은 마지막에 그래프의 n ≥ 3 구간에서 항의 값이 계속 증가하는지 확인했지만, 아직 조건이 바뀔 때마다 이 순서를 자동으로 재현하지는 못했다.

최고차항 부호를 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 수열로 발산 방향을 새로 확인했다.

b_n = -2n² + 7n - 4/n + 1,   n ≥ 1

다항식 나눗셈을 하면

b_n = -2n + 9 - 13/n + 1

이다. 최고차항의 계수가 -2이므로 b_n은 +∞가 아니라

lim_n→∞b_n = -∞

로 발산한다. n = 1을 대입하면 원래 식은 1/2이고, 수정한 식도 -2 + 9 - 13/2 = 1/2이다. 계수가 달라져도 범위 확인, 정확한 나눗셈, 최고차항 부호 판단, 대입 검산의 순서를 적용해야 발산 방향을 놓치지 않는다.