압구정동고1수학과외, 교환·결합법칙으로 계산을 줄이는 항 찾기
압구정고등학교, 청담고등학교, 현대고등학교처럼 압구정동 생활권의 학교에서 식의 계산 과정이 길어지면, 처음 적어 둔 조건을 놓치고 다음 줄로 서둘러 넘어가는 경우가 있다. 이때 필요한 것은 모든 항을 무작정 계산하는 것이 아니라, 교환법칙과 결합법칙을 적용해 먼저 묶을 수 있는 항을 찾는 판단이다.
18+7+32+3에서 먼저 보이는 묶음
예를 들어 다음 식을 계산한다고 하자.
18+7+32+3
덧셈에서는 항의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않으므로 교환법칙을 사용할 수 있다.
18+7+32+3 = 18+32+7+3
또한 더하는 순서를 괄호로 묶는 방법도 바꿀 수 있다.
(18+32)+(7+3) = 50+10 = 60
여기서 계산을 줄인 항은 18과 32, 7과 3이다. 처음 식의 순서대로 계산하면 18+7=25, 25+32=57, 57+3=60이지만, 합이 50과 10이 되는 항을 먼저 찾아 계산하면 중간 계산이 짧아진다.
학생 답안에서 사라진 것은 계산값이 아니라 판단 근거다
관찰한 답안에는 식만 다음과 같이 이어져 있었다.
18+7+32+3=25+32+3=57+3=60
계산 결과는 맞지만, 교환법칙과 결합법칙을 이용해 계산 순서를 줄일 수 있는 항을 찾았다는 흔적은 없다. 풀이가 길어진 뒤에는 처음 조건을 여백에 남기지 않고 바로 다음 계산으로 넘어갔기 때문에, 어떤 항을 묶을 수 있는지 확인하지 않은 상태가 반복되었다.
이 상태는 덧셈 계산을 못하는 단계라기보다, 식의 구조를 보고 계산 순서를 선택하는 단계가 아직 풀이 행동으로 정착되지 않은 경우에 가깝다. 특히 뺄셈이나 나눗셈까지 같은 방식으로 바꾸면 안 된다는 구분도 함께 필요하다.
바꿀 수 있는 항과 바꾸면 안 되는 연산
덧셈에서는 a+b=b+a인 교환법칙과 (a+b)+c=a+(b+c)인 결합법칙이 성립한다. 곱셈도 같은 성질을 가지므로
4×25×3 = (4×25)×3 = 100×3 = 300
처럼 4와 25를 먼저 묶을 수 있다.
반면 뺄셈은 순서를 바꿀 수 없다.
14-9-2 = 5-2 = 3
이지만 14-2-9로 바꾸면 3이므로 이 예에서는 우연히 같아 보일 수 있다. 실제로 14-9-2를 14-(9-2)로 묶으면 7이 되어 값이 달라진다. 따라서 교환·결합법칙을 확인할 때는 항 사이의 연산 기호가 덧셈 또는 곱셈인지 먼저 표시해야 한다.
여백의 한 줄을 계산 절차로 만들기
훈련에서는 식 옆에 다음과 같은 확인을 남긴 뒤 계산하게 한다.
① 같은 연산인가? ② 순서를 바꿔도 되는가? ③ 먼저 묶을 항은 무엇인가?
예를 들어
27+14+6+3
에서는 27과 3, 14와 6을 묶을 수 있다.
27+3+14+6 = (27+3)+(14+6) = 30+20 = 50
답안에는 단순히 50만 적지 않고, 덧셈 항의 순서를 바꾸고 10의 배수가 되는 항끼리 묶음이라고 짧게 표시한다. 이 표시가 나온 뒤에만 다음 계산으로 넘어가게 하면, 계산 순서를 줄였다는 판단이 실제 풀이에 남는다.
길이와 각 조건이 바뀐 도형에서 확인하기
새 문제에서는 직사각형의 네 변 길이가 16cm, 9cm, 24cm, 1cm로 주어지고 둘레를 구한다고 하자. 둘레는
16+9+24+1
이며, 16+24와 9+1을 먼저 묶어
(16+24)+(9+1)=40+10=50
이므로 둘레는 50cm이다. 길이 조건이 앞 문제와 달라졌지만, 학생이 덧셈 항을 확인하고 묶은 근거를 스스로 적는지 본다.
각 조건을 바꾼 문제에서도 같은 방식이 적용된다. 세 각의 합이 180°이고 두 각이 68°, 47°라면 나머지 각은
180-(68+47)=180-115=65°
이다. 여기서 ‘이항’이라는 말만 외워 식을 옮겼는지 보지 않고, 양변에 같은 연산을 적용했다는 설명을 하는지 확인한다. 예를 들어 x+68+47=180에서 먼저 덧셈 항을 묶어 x+115=180으로 만든 뒤, 양변에서 115를 빼므로 x=65라고 말해야 한다.
압구정로데오나 한류스타거리 인근에서 귀가 시간이 짧은 학생과 주거지 이동으로 학습 시간이 나뉘는 학생은 같은 분량을 고정하기보다, 한 식에서 ‘묶을 항 표시’가 실제로 나타나는지를 기록하는 방식이 적절하다. 피곤한 날에는 긴 계산 세트보다 식 두세 개에서 교환·결합 가능 여부를 표시하는 연습으로 학습 종류를 조정할 수 있다.