수서동고3수학과외

수서동 고3수학과외, 공비가 바뀌면 극한의 결론도 바뀐다

수서동에서는 서울세종고등학교와 대진디자인고등학교가 지역 내 고등학교로 확인되며, 같은 강남구의 숙명여자고등학교·단국대학교사범대학부속고등학교·경기여자고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학생은 통학과 방과후 이동 뒤 확보한 자습시간에 등비수열 극한 문제를 풀었지만, 식의 모양보다 앞 문제에서 외운 결론을 먼저 적용하는 습관이 나타났다.

수렴 조건을 확인하지 않고 적은 오답

먼저 학생은 다음 수열의 부분합을 계산했다.

a_n=3(-1/2)^n-1

등비수열의 공비가 r=-1/2이므로

S_n=3{1-(-1/2)ⁿ}/(1+1/2)

이고, |r|<1이므로

lim S_n=3/(3/2)=2

가 된다. 여기까지는 수렴 조건과 부분합을 연결한 올바른 풀이이다.

그런데 범위를 바꾼 새 문제

b_n=5(-2)^n-1, T_n=b₁+b₂+⋯+b_n

에서 학생은 왼쪽 여백에 ‘공비가 음수인 등비수열도 항이 작아지므로 수렴’이라고 쓰고 다음과 같이 적었다.

T_n=5{1-(-2)ⁿ}/(1+2) → 5/3

이 식은 오답이다. 공비가 음수라는 사실만으로 수렴하지 않는다. 이 문제의 공비는 r=-2이고 |r|=2>1이므로 (-2)ⁿ의 절댓값이 계속 커진다. 따라서 부분합은 5/3에 가까워지지 않으며 극한이 존재하지 않는다.

오류 줄을 표시하고 조건부터 다시 확인하기

• 틀린 줄: “공비가 음수인 등비수열도 수렴하므로 T_n→5/3”
• 변수 관계 확인: 등비수열의 수렴 여부는 부호가 아니라 |r|<1인지로 판단한다.
• 식 수정: T_n=5{1-(-2)ⁿ}/3까지는 부분합 공식으로 맞지만, lim(-2)ⁿ은 존재하지 않으므로 lim T_n도 존재하지 않는다.

학생은 계산 결과를 항에 대입해 확인했다.

T₁=5, T₂=5-10=-5, T₃=5-10+20=15, T₄=5-10+20-40=-25

부분합이 5/3 주변에 모이지 않고 양수와 음수 방향으로 커지는 것을 확인한 뒤, 그래프에서도 점들이 한 값에 접근하지 않는다는 점을 대조했다. 식만 기억하지 않고 공비의 절댓값, 부분합의 변화, 그래프의 위치를 함께 확인한 것이다.

계수를 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 수열로 검증했다.

c_n=7(3/4)^n-1, U_n=c₁+⋯+c_n

이번에는 r=3/4, |r|<1이므로

U_n=7{1-(3/4)ⁿ}/(1-3/4)

이고

lim U_n=7/(1/4)=28

이다. 학생은 U₁=7, U₂=49/4를 직접 대입한 뒤 부분합이 28에 가까워지는지 확인했다. 공비의 부호가 아니라 절댓값과 부분합의 거동을 먼저 확인해야 한다는 기준을 새 조건에서도 적용했다.