수서동고2수학과외

수서동 고2수학과외, 같은 밑의 지수법칙을 변형식에 연결하기

수서동에서 서울세종고등학교나 대진디자인고등학교 수업을 마친 뒤 수서주공아파트와 LH수서아파트 생활권으로 이동하면, 긴 시간보다 확보된 짧은 자습시간을 정확한 풀이 점검에 쓰는 것이 중요하다. 지수 단원에서는 계산 속도보다 식의 밑을 다시 확인하는 과정이 먼저다.

2³·2⁴를 2¹²로 쓴 흔적

다음 식을 계산하는 과정에서 학생은

2³·2⁴ = 2^3×4 = 2¹²

라고 적었다. 그러나 같은 밑의 곱셈에서는 지수를 곱하지 않고 더한다.

2³·2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷

지수를 곱하는 관계는 (2³)⁴ = 2¹²처럼 거듭제곱 전체가 다시 거듭제곱될 때만 적용된다. 즉, 기호가 비슷해 보여도 곱셈인지 거듭제곱인지 먼저 구분해야 한다.

계수와 부호가 바뀌어도 밑을 재구성하기

예를 들어

3·2⁵ ÷ 2²

에서는 계수 3을 지수에 포함시키지 않는다. 같은 밑인 2만 묶어

3·2⁵ ÷ 2² = 3·2^5-2 = 3·2³ = 24

로 계산한다. 반면

(-2)³·(-2)⁴

는 밑이 모두 -2이므로

(-2)³⁺⁴ = (-2)⁷ = -128

이다. 2와 -2를 서로 다른 밑으로 보아 지수법칙을 적용하면 안 된다. 먼저 각 항을 같은 밑의 거듭제곱으로 표현할 수 있는지 확인하고, 그다음 곱셈이면 지수를 더하고 나눗셈이면 지수를 빼야 한다.

식 위에 ‘같은 밑·곱셈·나눗셈’을 표시하는 훈련

풀이 첫 줄에 다음 세 가지를 직접 적게 한다.

① 같은 밑: 2
② 연산: 곱셈이면 지수의 합, 나눗셈이면 지수의 차
③ 계수: 지수와 따로 계산

따라서 4·2⁶ ÷ 2³은

4·2^6-3 = 4·2³ = 32

가 된다. 잘못된 줄 전체를 처음부터 다시 쓰기보다, 밑과 연산을 표시한 바로 다음 줄만 고쳐 쓰게 하면 지수를 곱하는 오류가 어디서 생겼는지 확인할 수 있다.

표현이 달라진 두 식에서 적용 여부 확인하기

마지막으로 다음 두 식을 비교한다.

A = 5²·5³
B = (5²)³

A는 같은 밑의 곱셈이므로 5²⁺³ = 5⁵이고, B는 거듭제곱의 거듭제곱이므로 5^2×3 = 5⁶이다. 두 식의 모양이 비슷해도 연산 구조가 다르다는 점을 먼저 말하고 계산해야 한다.

이처럼 계수 4가 붙거나 부호가 바뀌거나 곱셈이 나눗셈으로 바뀐 문제에서도, 밑을 확인한 뒤 지수의 합·차를 선택하는 풀이 흔적이 남아야 한다.