세곡동고3수학과외

부호에 멈추지 않고 등비수열의 극한을 판정하는 연습

세곡동에서 통학하며 고등학교 수학 과제를 따라가던 학생은 등비수열 문제에서 음의 공비가 나오면 수렴하지 않는다고 빠르게 판단했다. 세곡동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않아, 강남구 내 숙명여자고등학교·단국대학교사범대학부속고등학교·경기여자고등학교·경기고등학교·중산고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 삼아 학습 상황을 살폈다.

처음 잘못된 줄 표시하기

문제는 다음과 같았다.

수열 a_n=3(-1/2)ⁿ의 극한을 구하여라.

학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

오답: a_n의 부호가 양수와 음수로 반복되므로 항이 일정한 값에 가까워지지 않는다. 따라서 발산한다.

이 판단에서 처음 어긋난 줄은 ‘부호가 반복되므로 발산한다’이다. 부호의 반복만으로 극한의 존재를 결정할 수는 없다. 공비의 절댓값이 1보다 작은지가 핵심이다.

좌우 식을 비교해 극한 조건 확인하기

• 틀린 판단: r<0이므로 부호가 반복되어 발산
• 정확한 판단: 등비수열 a_n=a·rⁿ은 |r|<1이면 r의 부호와 관계없이 a_n→0

여기서는 r=-1/2이므로

|r|=|-1/2|=1/2<1

이다. 따라서

lim_n→∞3(-1/2)ⁿ=0

으로 수정해야 한다. 실제 항을 계산해도 -3/2, 3/4, -3/8, 3/16처럼 부호는 바뀌지만 절댓값은 계속 작아져 0에 가까워진다.

부분합으로 수정 결과 검산하기

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 공비의 절댓값과 부분합을 따로 적었다.

S_n=3(-1/2)+3(-1/2)²+⋯+3(-1/2)ⁿ

첫 항을 a₁=-3/2로 두면

S_n=a₁(1-rⁿ)/(1-r) =(-3/2)(1-(-1/2)ⁿ)/(3/2) =-1+(-1/2)ⁿ

이다. (-1/2)ⁿ→0이므로 부분합은 -1에 가까워진다. 항의 극한은 0이고, 이 수열의 무한급수 합은 -1이라는 사실을 구분해 적으며 계산을 검산했다.

공비를 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않도록 공비를 바꾸어 다음 문제를 추가했다.

수열 b_n=4(-3/2)ⁿ의 수렴 여부를 판정하여라.

이번에는 부호뿐 아니라 절댓값을 먼저 확인한다.

|-3/2|=3/2>1

이므로 항의 절댓값이 커진다. 실제로 b₁=-6, b₂=9, b₃=-27/2가 되어 0에 가까워지지 않으므로 발산한다. 음의 공비라도 |r|<1이면 수렴하고, |r|>1이면 발산한다는 기준을 조건과 함께 적용한 것이다.