세곡동고2수학과외

세곡동고2수학과외에서 추적한 지수법칙의 계산 줄

세곡동의 세곡푸르지오와 리엔파크3단지 일대에서 통학한 뒤 학교 프린트와 지필평가 문제를 이어서 풀다 보면, 풀이 시간이 부족해 계산 줄을 건너뛰기 쉽다. 이때 지수 문제의 오답은 결과보다 법칙을 적용한 순간에서 드러난다.

2³·2⁴를 2¹²로 바꾼 이유

답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

2³·2⁴ = 2^3×4 = 2¹²

그러나 같은 밑의 곱셈에서는 지수를 곱하지 않고 더해야 한다.

a^m·aⁿ = a^m+n

따라서

2³·2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷

이다. 실제로 2³은 2를 세 번, 2⁴는 2를 네 번 곱한 것이므로 모두 합치면 2가 일곱 번 곱해진다. 지수를 곱하는 법칙은 곱셈이 아니라 (a^m)ⁿ = a^mn처럼 거듭제곱의 거듭제곱에서 사용한다.

법칙을 고르는 줄을 네모로 고정하기

비슷한 문제를 다시 풀 때도 학생은 계산 결과만 고치고, 어느 줄에서 법칙을 선택했는지는 표시하지 못했다. 그래서 다음 계산 직전에 식 옆에 네모를 그려 조건을 적게 했다.

□ 밑이 같은가? □ 곱셈인가, 나눗셈인가? □ 지수를 더하거나 빼는 형태인가?

예를 들어

3⁵ ÷ 3²

에서는 밑이 모두 3이고 나눗셈이므로 네모에 통과 표시를 한 뒤

3⁵ ÷ 3² = 3⁵⁻² = 3³

이라고 쓴다. 반대로 2³·3⁴는 밑이 다르므로 지수를 더할 수 없다.

밑이 다른 항을 억지로 합치지 않는 검산

수정한 뒤에는 앞의 예제를 가리고 다음 식을 제시했다.

5²·5³ ÷ 5⁴

먼저 곱셈과 나눗셈 모두 밑이 5라는 조건을 확인한다.

5²⁺³⁻⁴ = 5¹ = 5

이때 2와 3을 곱하거나, 나눗셈에서 지수를 나누지 않고, 곱셈은 더하고 나눗셈은 빼는 중간식을 남겨야 한다.

이어서 표현을 바꾼 검증 문제로 (2³)² ÷ 2⁴를 풀게 했다. 여기서는 먼저 거듭제곱의 거듭제곱을 계산하여

(2³)² ÷ 2⁴ = 2⁶ ÷ 2⁴ = 2² = 4

로 정리한다. 곱셈·나눗셈과 거듭제곱의 거듭제곱을 구분하고, 각 단계에서 밑과 연산을 네모 안에서 확인했을 때 비로소 새로운 식에서도 같은 판단이 유지된 것으로 볼 수 있다.