대치동 고3 수학과외에서 극한 연산이 어긋난 첫 줄 찾기
대치동의 대치우성아파트나 대치현대아파트처럼 통학 동선이 다른 생활권에서는 같은 고3이라도 혼자 중간식을 다시 확인할 수 있는 시간이 달라진다. 이 학생은 학교와 집을 오가는 시간이 짧은 날에 풀이 과정을 한 줄씩 점검하는 방식으로 학습 리듬을 조정하고 있다.
‘실수’가 아니라 극한의 존재 여부부터 확인하기
다음 수열의 극한을 구하는 과정에서 학생은 첫 줄을 지나친 채 마지막 답만 고쳤다.
문제: 수열 \(a_n=(-1)^n\), \(b_n=\frac{2}{n}\)에 대하여 \(\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)\)의 존재 여부를 판단하라.
학생의 오답: \(\displaystyle \lim(a_n+b_n)=\lim a_n+\lim b_n=0+0=0\)
이 식은 단순 계산 실수가 아니다. 극한의 기본 성질 \(\lim(a_n+b_n)=\lim a_n+\lim b_n\)은 두 극한이 모두 존재할 때 사용할 수 있다. 그런데 \(a_n=(-1)^n\)은 짝수 번째 항에서 \(1\), 홀수 번째 항에서 \(-1\)이므로 하나의 값으로 가까워지지 않는다.
실제로 \(a_{2n}=1\), \(a_{2n-1}=-1\)이다. 반면 \(b_n\to0\)이므로
\[ a_{2n}+b_{2n}=1+\frac{1}{n}\to1,\qquad a_{2n-1}+b_{2n-1}=-1+\frac{2}{2n-1}\to-1 \]
두 부분수열의 극한이 다르므로 \(a_n+b_n\)의 극한은 존재하지 않는다. 따라서 정답은 수렴하지 않는다이며, \(0\)이라는 계산은 틀렸다.
첫 불일치가 생긴 줄만 표시하는 교정
- 틀린 줄 표시: \(\lim a_n+\lim b_n=0+0\)
- 조건 확인: \(b_n\)은 \(0\)으로 수렴하지만 \(a_n=(-1)^n\)은 짝수·홀수 항의 극한이 달라 발산한다.
- 식 수정: 두 극한이 모두 존재하지 않으므로 극한의 합 법칙을 적용하지 않는다.
- 검산: 짝수 항과 홀수 항을 각각 대입하여 \(1\), \(-1\)에 가까워지는지 확인한다.
학생은 이제 오답 옆에 ‘실수’라고만 쓰지 않고, 네모칸에 후보값 주변의 허용 범위를 적는다. 예를 들어 후보 \(0\)을 검토할 때 \(|a_n-0|<\frac12\)가 충분히 성립해야 하지만, \(a_{2n}=1\)과 \(a_{2n-1}=-1\)에서는 모두 성립하지 않는다. 이 확인으로 \(a_n\)이 \(0\)에 수렴한다는 판단을 제거한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 다음 문제를 새로 제시한다.
검증 문제: \(c_n=3+\frac{(-1)^n}{n}\), \(d_n=\frac{5}{n}\)일 때 \(\lim_{n\to\infty}(c_n+d_n)\)을 구하라.
이번에는 \(\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|\le\frac1n\to0\)이므로 \(c_n\to3\), \(d_n\to0\)이다. 따라서 두 극한이 존재하여
\[ \lim(c_n+d_n)=\lim c_n+\lim d_n=3+0=3 \]
이 검증에서 학생은 먼저 각 극한의 수렴 여부를 판별하고, 그다음 합의 법칙을 적용한다. 발산 수열을 숫자처럼 더했던 이전 후보는 조건이 바뀐 문제에서는 스스로 제거되고, 극한 연산이 가능한 경우와 불가능한 경우를 구분하게 된다.