대치동고2수학과외

대치동고2수학과외에서 분수 지수 문제를 지도할 때는 답보다 근호의 차수가 바뀌는 계산 줄을 먼저 확인한다. 대치우성아파트나 대치현대아파트처럼 학교와 생활권의 위치에 따라 귀가 후 공부 시간이 달라질 수 있지만, 짧은 풀이에서도 법칙을 표시하는 습관은 반드시 남아야 한다.

8^2/3에서 분모 3을 놓친 계산

다음 식을 계산하는 과정에서 학생은

8^2/3 = √(8²) = 8

이라고 적었다. 이 줄에서는 분수 지수의 분모 3이 사라져 제곱근 기호로 바뀌었다. 따라서 마지막 값도 맞지 않는다.

분수 지수의 기본 관계는

a^m/n = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m)

이다. 그러므로 정확한 계산은

8^2/3 = (³√8)² = 2² = 4

가 된다. 밑 8은 양수이므로 실수 범위에서 이 변형을 사용할 수 있고, 분모 3은 반드시 세제곱근의 차수로 남겨야 한다.

바뀐 기호를 한 줄에서 추적하기

재풀이할 때는 계산식을 지우고 다시 쓰는 대신 잘못된 줄과 수정한 줄을 나란히 둔다.

달라진 기호는 √ 앞의 작은 3 하나지만, 그 기호가 지수의 분모와 대응한다. 이후에는 각 줄 위에 다음처럼 법칙의 역할을 표시한다.

8^2/3 → (³√8)² → 2² → 4

이 과정을 거치면 근호를 먼저 계산할지 지수를 먼저 계산할지 선택할 수 있고, 두 방식이 같은 값으로 이어지는지도 확인할 수 있다.

밑과 지수를 함께 바꾼 식에서 순서 재구성

다음에는 밑과 분수 지수를 동시에 바꾼 식을 제시한다.

27^4/3 ÷ 3²

풀이를 시작하기 전에 학생이 분모 3을 근호의 차수로 옮기는지 확인한다.

27^4/3 = (³√27)⁴ = 3⁴ = 81

따라서

27^4/3 ÷ 3² = 81 ÷ 9 = 9

가 된다. 새 조건에서는 밑이 8에서 27로, 지수가 2/3에서 4/3으로 바뀌었지만, 학생이 먼저 분모를 세제곱근의 차수로 표시하고 그다음 근호를 계산했다면 법칙을 독립적으로 적용한 것이다.

반대로 27^4/3 = √(27⁴)처럼 다시 제곱근을 쓰면, 처음 오답의 기호만 반복한 것이므로 계산 결과가 아니라 풀이 줄의 대응 관계부터 바로잡아야 한다.