통진고등학교 고2수학과외에서 다룬 함수 관계 심화
통진고등학교 고2수학과외에서는 유리함수와 무리함수의 식을 그래프와 연결하고, 조건이 바뀌었을 때도 정의역과 대응관계를 먼저 판단하는 연습을 진행했다. 기본 그래프는 그릴 수 있었지만 식을 정리한 뒤 바로 곡선을 표시하는 습관 때문에 분모 조건과 점근선의 위치가 빠지는 경우가 있었다.
그래프를 그리기 전에 확인해야 할 조건
유리함수 문제에서 학생은 식을 변형한 뒤 그래프 모양을 기억해 그리려고 했다. 그러나 분모가 0이 되는 값을 먼저 찾지 않아 정의역에서 제외되는 x값과 수직점근선을 표시하지 못했다. 숫자가 바뀐 문제에서는 같은 방식으로 그래프를 옮겨 그리면서 식의 변화가 점근선과 그래프 위치에 미치는 영향을 놓쳤다.
이에 먼저 분모가 0이 되는 값을 적고, 그 값을 기준으로 정의역과 점근선을 표시하게 했다. 이후 수평점근선과 몇 개의 대응값을 계산해 그래프를 그린 뒤, 계산한 점이 실제 그래프의 어느 위치에 놓이는지 다시 확인했다. 도형의 위치관계를 식으로 바꾼 문제에서도 계산 결과만 보지 않고 그래프에서 해당 점의 위치를 대조하도록 했다.
무리함수 오답에서 드러난 최초 오류
가장 분명한 오답은 조건을 바꾼 무리함수 문제에서 나왔다. 학생은 식을 정리하고 두 함수의 교점을 계산한 뒤 근호 안의 조건을 확인했다. 그 결과 근호 안이 음수가 되는 구간에서 나온 교점까지 답에 포함했다. 계산 과정 자체는 이어졌지만, 그래프가 존재하지 않는 구간을 해로 인정한 것이 최초 오류였다.
수정할 때는 풀이 첫 줄에 근호 안이 0 이상이라는 정의역 조건을 적게 했다. 교점 후보를 구한 뒤에는 각 후보를 원래 식에 대입하고, 동시에 정의역 안에 포함되는지 확인했다. 숫자를 바꾼 새 문제에서는 근호 안의 식과 상수항을 다르게 제시해 같은 절차를 적용하게 했으며, 제외한 해에 대해서는 왜 그래프에 나타날 수 없는지 말로 설명하게 했다.
지수식과 로그식의 대응관계 점검
내신 고난도 형태에서는 지수식과 로그식을 서로 바꿀 때 밑, 진수, 결과의 역할이 유지되는지도 확인했다. 익숙한 변환부터 시작하면 조건을 바꾼 문제에서도 원래 식의 대응관계를 확인하지 않고 공식을 적용하는 경향이 있었기 때문이다. 따라서 변환 전후에 밑은 양수이고 1이 아닌지, 진수는 양수인지, 결과가 지수에 해당하는지 차례로 표시하게 했다.
현재 유리함수의 기본 그래프는 이해하지만, 정의역과 점근선을 식의 변형과 함께 판단하는 힘은 문제마다 차이가 난다. 특히 숫자가 바뀌거나 근호 조건이 추가되면 계산을 먼저 진행하는 모습이 다시 나타난다. 앞으로는 분모 조건이나 근호 조건을 첫 줄에 적고, 후보해를 원식과 그래프에 각각 대조한 뒤 답을 확정하는 방식으로 새 문제에 재적용하도록 했다.