다산고등학교 고2수학과외에서 다룬 조건 분류와 수열 규칙 검증
다산고등학교 고2수학과외에서 한 고2 학생은 수열의 규칙을 빠르게 찾는 데에는 익숙했지만, 찾은 식이 모든 항에 실제로 적용되는지 확인하고 명제의 조건 관계까지 연결하는 과정에서 흔들림이 나타났다. 앞의 몇 항에서 보이는 패턴과 끝까지 성립하는 일반항은 다를 수 있으므로, 규칙을 추측하는 단계와 증명·검증하는 단계를 분리하는 것이 핵심이었다.
앞 네 항만으로 일반항을 확정한 오답
해설 없는 새 문제에서 수열의 앞 네 항이 일정한 차이를 보이자 학생은 등차수열의 일반항처럼 식을 정리했다. 이후 다음 항을 계산할 때도 같은 식을 그대로 적용했지만, 실제 조건에서는 다섯 번째 항부터 차이가 달라졌다. 처음 네 항에 맞는다는 사실을 전체 수열에서도 성립한다는 충분조건처럼 받아들인 것이다.
풀이 과정에서 항 사이의 차이와 비율을 따로 확인하지 않았고, 다음 항에 규칙이 유지되는지 대입하지도 않았다. 이 때문에 가능한 규칙 중 하나를 유일한 일반항으로 확정하면서 다른 경우를 누락했다. 조건이 추가된 뒤에는 해당 식을 만족하는 항만 찾으려 하여, 원래 조건과 새 조건의 포함관계도 구분하지 못했다.
필요조건과 충분조건을 문장 모양이 아니라 포함관계로 판단하기
현재는 명제의 역과 대우를 형식적으로 구분할 수 있다. 그러나 새로운 문제에서 원명제와 역이 비슷하게 표현되면 둘이 같은 진릿값을 가진다고 판단하는 경우가 남아 있다. 특히 좌표와 거리조건에서는 “두 점이 같은 거리에 있다”는 조건과 “특정 직선 위에 있다”는 조건을 말의 느낌으로 비교하다가, 한 조건이 다른 조건을 포함하는지 확인하지 않고 필요조건과 충분조건을 뒤바꾸었다.
이때 원명제 P이면 Q를 먼저 쓰고, 역인 Q이면 P와 대우인 Q가 아니면 P가 아니다를 각각 분리해 적는다. 역은 원명제와 항상 같은 진릿값을 갖는 것이 아니지만, 대우는 원명제와 같은 진릿값을 갖는다. 어느 한 방향만 성립하는 경우에는 반례를 찾아 조건의 포함관계를 확인해야 한다.
수정 과정과 새 조건에 대한 재적용
- 수열의 각 항을 표에 적고 항 사이의 차이와 비율을 나란히 기록한다.
- 앞부분에서 발견한 규칙을 다음 항에 대입해 계속 유지되는지 확인한다.
- 일반항 후보를 정한 뒤 주어진 모든 조건에 대입하여 누락된 경우가 없는지 살핀다.
- 명제는 원명제·역·대우를 따로 써서 어느 명제가 항상 성립하는지 반례로 점검한다.
- 좌표와 거리조건은 조건을 만족하는 점들의 집합을 생각하며 한쪽 집합이 다른 집합에 포함되는지 확인한다.
이후 숫자와 조건을 바꾼 문제에서는 앞의 네 항만 보고 일반항을 확정하지 않고, 다섯 번째 항까지 차이표를 연장한 뒤 다른 규칙 가능성을 검토했다. 또 “거리조건이면 직선 위에 있다”와 같은 문장을 만났을 때 한 방향의 예시만 제시하지 않고, 반대 방향에서 성립하지 않는 점을 직접 찾아 역의 거짓 여부를 판단했다.
다산고등학교 고2수학과외에서는 이처럼 수열의 규칙 탐색을 명제의 필요·충분조건 판단과 연결해, 조건이 늘어날수록 경우를 빠뜨리지 않고 구조적으로 분류하는 풀이를 연습한다.