문산제일고등학교 고2수학과외

문산제일고등학교 고2수학과외에서 다룬 역함수 조건 검증

합성함수의 기본 계산은 가능했지만, 식이 길어지면 안쪽 함수와 바깥 함수의 적용 순서를 표시하지 않고 눈에 먼저 들어온 바깥 식부터 계산하는 문제가 나타났다. 문산제일고등학교 고2수학과외에서는 단순히 역함수식을 구하는 데서 멈추지 않고, 그 식이 실제로 어떤 정의역에서 성립하는지까지 확인하도록 풀이 과정을 바꾸었다.

식 변환보다 먼저 확인해야 할 조건

예를 들어 함수의 정의역이 제한되어 있거나 제곱근·분모가 포함된 합성함수에서는 식을 변형한 뒤 생긴 후보가 모두 원래 함수의 값이라고 볼 수 없다. 특히 역함수를 구할 때는 원래 함수가 해당 정의역에서 일대일 대응인지, 원래 정의역과 치역이 각각 무엇인지 먼저 정리해야 한다.

• 원래 함수의 정의역에서 분모가 0이 되는 값이나 음수가 되는 제곱근의 조건을 제외한다.
• 정의역을 제한했을 때 서로 다른 두 입력이 같은 함숫값을 갖지 않는지 확인한다.
• 치역을 구한 뒤 역함수의 정의역으로 옮겨 적는다.
• 변수의 위치를 바꿔 역함수식을 만든 뒤 원래 식에 대입해 확인한다.

기존 풀이에서는 역함수 식을 만든 다음 정의역을 따로 확인하지 않았다. 그 결과 실제로는 일대일 대응이 되지 않는 구간까지 역함수의 정의역에 포함했고, 식만 놓고 보면 맞아 보이는 답을 서술형에 적었다. 조건이 세 개 이상인 문제에서는 일대일 여부, 정의역·치역, 부등식 경계값을 한꺼번에 처리하다가 마지막 후보를 검증하는 과정도 생략했다.

합성함수의 적용 순서와 역함수의 존재조건

합성함수 (f∘g)(x)=f(g(x))에서는 먼저 g(x)를 계산하고 그 결과를 f에 넣어야 한다. 학생은 긴 식에서 바깥 함수 f의 형태를 먼저 정리한 뒤 안쪽 함수 g를 대입하는 방식으로 진행해, 괄호 안 조건과 정의역 제한을 뒤늦게 발견했다. 이때 원래 식에서는 제외되어야 할 값이 변형된 식의 해로 남는 오류가 생겼다.

수정할 때는 풀이 첫 줄에 안쪽 함수 → 중간값의 조건 → 바깥 함수를 적게 했다. 역함수 문제에서는 다음 표를 먼저 작성한 뒤 식을 변환했다.

이 과정을 통해 식 변환과 조건 확인을 분리하지 않고 하나의 풀이 흐름으로 연결했다. 부등식이 포함된 서술형에서는 경계값을 대입해 등호가 허용되는지도 확인하게 하여, 답의 범위를 임의로 넓히거나 좁히지 않도록 했다.

새 조건으로 바꾼 문제에 재적용하기

이후에는 숫자와 정의역을 바꾼 합성함수·역함수 문제를 제시했다. 학생은 먼저 정의역과 치역을 표에 적고, 함수의 증가·감소나 그래프의 겹침 여부를 확인한 뒤 역함수식을 만들었다. 그래프와 식의 결과가 일치하는지 대조하면서 역함수 그래프가 y=x에 대해 대칭이어야 한다는 점도 검산 기준으로 사용했다.

시험 후반처럼 조건이 많은 문항에서는 핵심조건과 보조조건을 나누어 표시했다. 마지막에는 역함수식에서 얻은 후보를 원래 합성함수에 다시 넣고, 정의역·치역과 부등식 경계까지 모두 만족하는지 확인했다. 문산제일고등학교 고2수학과외의 재적용 과정에서 중요한 변화는 식을 빠르게 끝내는 대신, 어떤 조건에서 그 식이 성립하는지를 끝까지 추적하는 풀이 행동이 나타났다는 점이다.