고양국제고등학교 고3 수학과외에서 다룬 최댓값 판단의 허점
식사동에서 고3 수학을 준비하는 이 학생은 도함수의 영점을 찾고 극값 후보의 함수값을 비교하는 과정까지는 안정적으로 수행한다. 그러나 제한시간이 지난 시험 후반에는 익숙한 풀이를 서둘러 적용하면서 정의역의 양 끝점을 최댓값·최솟값 후보에서 제외하는 일이 반복됐다.
극값은 찾았지만 최댓값은 놓친 풀이
한 미적분 준고난도 문제에서 닫힌 구간 [a, b] 안의 함수 최댓값을 구해야 했다. 학생은 먼저 f′(x)=0이 되는 내부의 두 점을 계산하고, 도함수 부호를 이용해 한 점을 극댓값 후보로 표시했다. 이후 두 후보의 함수값만 비교해 답을 확정했지만, 실제로는 구간 끝점 x=a에서 더 큰 함수값이 나왔다.
최초 오류는 도함수 계산이 아니었다. 문제에서 요구한 값이 ‘구간 안의 극댓값’이 아니라 ‘닫힌 구간 전체에서의 최댓값’이라는 조건을 다시 확인하지 않은 채, 극값 후보만 조사한 것이 출발점이었다. 그 결과 그래프의 내부 봉우리만 비교하고 왼쪽 끝점의 높이는 확인하지 않아 최종 답을 잘못 선택했다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 조건
이 학생은 도함수의 영점과 증가·감소 구간을 연결해 그래프 개형을 추론할 수 있고, 내부 극값 후보의 함수값도 정확히 계산한다. 다만 수능형 문제에서 구간이 닫혀 있거나 경계조건이 붙으면 ‘극값 후보를 찾았다’는 판단을 최댓값 결정으로 착각한다. 특히 시험 후반에는 현재 문제에서 구할 값과 정의역을 읽기보다 직전 문항에서 사용한 미분 절차를 그대로 시작하는 경향이 나타난다.
고양국제고등학교 고3수학과외에서는 이 문제를 단순 오답 정리로 끝내지 않고, 실근 개수나 그래프 추론 문제에서도 먼저 조건을 표시하는 습관으로 연결한다. 도함수의 영점은 후보를 만드는 정보일 뿐이며, 최종값은 정의역의 모든 후보를 비교해야 결정된다는 논리를 서술형으로 설명하게 했다.
수정 과정과 재적용
풀이 첫 줄에 ‘구간, 도함수 영점, 끝점’ 세 항목을 직접 적게 한 뒤, 각 도함수 영점에서의 함수값과 f(a), f(b)를 한 표에 기록하도록 했다. 도함수 부호표로 내부 극값의 성격을 확인한 다음에도 계산을 멈추지 않고 끝점 대입을 완료해야 답을 확정하도록 풀이 중단 기준을 바꾸었다.
이후 숫자를 바꾼 닫힌 구간 문제와, 내부 극댓값보다 끝점의 함수값이 작은 문제를 차례로 제시했다. 학생은 먼저 정의역을 표시하고 도함수 영점을 찾은 뒤 끝점까지 비교했으며, 그래프의 높이와 계산한 함수값이 일치하는지 다시 확인했다. 마지막에는 제한시간을 둔 새 문제에서 직전 공식이 아니라 ‘무엇의 최댓값을 어느 구간에서 구하는가’를 먼저 적고 풀이를 시작하는지 검증했다.