합성함수의 순서를 식으로 추적하는 고1 수학 학습
경기북과학고등학교고1수학과외에서는 교과서 예제를 그대로 반복하기보다 학교 프린트에서 숫자와 조건이 바뀐 문제에 대응하는 과정을 중요하게 다룬다. 특히 계산량이 길어질수록 합성함수의 안쪽 함수와 바깥쪽 함수가 어떤 순서로 연결되는지 설명할 수 있어야 정답이 우연인지 구분할 수 있다.
계산을 먼저 시작하면서 생긴 오답
한 고1 학생은 두 함수가 주어지고 합성함수의 값을 구하는 문제에서 식을 보자마자 계산량이 적어 보이는 바깥쪽 함수부터 계산했다. 두 함수 자체는 정확히 읽었지만, 안쪽 함수의 출력값이 바깥쪽 함수의 입력으로 들어간다는 연결을 표시하지 않았다.
예를 들어 f(x)=2x+1, g(x)=x²-3일 때 (f∘g)(2)를 구하면서 먼저 f(2)를 계산한 뒤 그 결과를 g에 넣었다. 실제로는 (f∘g)(2)=f(g(2))이므로 g(2)를 먼저 구해야 한다. 학생은 두 함수의 계산은 모두 맞게 했지만 적용 순서를 바꾸어 최종값을 다르게 만들었다.
표가 포함된 변형 문제에서도 같은 행동이 나타났다. 표에서 입력값을 확인한 뒤 바로 바깥쪽 함수의 식을 적용했고, 안쪽 함수의 출력값을 중간값으로 기록하지 않았다. 따라서 어디서부터 잘못되었는지 풀이 중간에는 확인하기 어려웠다.
현재 가능한 부분과 흔들리는 조건
현재는 각각의 함수식을 읽고 값을 계산하는 능력은 있다. 두 함수가 단순하게 제시되면 합성함수의 기본 계산도 가능하다. 다만 식이 길어지거나 표와 여러 조건이 함께 제시되면 보이는 식부터 처리하는 습관이 다시 나타난다.
범위 문제에서는 각 함수에서 얻은 범위를 따로 구할 수 있지만, 마지막에 공통부분을 판단할 때 계산 결과만 보고 넘어가는 경우가 있다. 합성함수의 순서와 범위의 교집합을 한 번에 확인해야 하는 문제에서 특히 풀이 근거가 약해진다.
화살표와 중간값으로 풀이를 재구성하기
오답을 수정할 때 정답을 먼저 제시하지 않고 입력에서 출력까지의 흐름을 화살표로 적는다.
- 입력값 x
- 안쪽 함수 g(x) 적용
- 중간 출력값 g(x)
- 그 값을 바깥쪽 함수 f에 대입
- 최종값 f(g(x))
첫 식을 쓰기 전에 왜 g(x)를 먼저 계산하는지 말하게 한다. “f∘g에서 오른쪽 함수가 먼저 적용되므로 g(x)를 구한다”고 설명한 뒤, 실제 숫자를 대입한다. 계산 중에는 안쪽 함수의 출력값을 한 줄에 따로 적고, 그 값이 다음 함수의 입력으로 들어갔는지 확인한다. 괄호를 생략하지 않는 것도 중요한 수정 기준으로 삼는다.
범위가 함께 제시된 문제에서는 각 조건에서 나온 범위를 따로 표시한 다음 수직선에 나타낸다. 예를 들어 한 조건에서 x≥1, 다른 조건에서 x<4가 나오면 각각의 범위를 그린 뒤 겹치는 부분인 1≤x<4를 답으로 정리한다. 경계값 1과 4를 직접 대입해 포함 여부를 다시 확인하면서 공통부분을 계산 결과만으로 판단하지 않게 한다.
숫자와 조건을 바꾼 재적용
다음 날에는 빈 종이에 합성 순서만 표시한 뒤, 숫자를 바꾼 문제를 새로 풀게 한다. 함수의 계수와 입력값을 바꾸어도 먼저 안쪽 함수의 출력값을 구하고, 그 결과를 바깥쪽 함수에 넣는지 확인한다. 표가 있는 문제에서는 표의 입력값과 중간 출력값을 별도 칸에 기록하게 한다.
이후 범위 조건 하나를 바꾼 문제를 제시해 교집합도 다시 검증한다. 풀이가 끝난 뒤에는 첫 식을 선택한 이유, 안쪽 함수를 먼저 적용한 근거, 경계값을 포함하거나 제외한 이유를 직접 설명하게 한다. 경기북과학고등학교 고1수학과외의 재적용 과정에서도 정답뿐 아니라 합성 순서와 공통범위를 끝까지 설명하는지를 확인한다.