이의고등학교고1수학과외에서 다룬 함수의 입력과 출력
함수 문제를 풀 때 식을 계산하는 것만으로는 충분하지 않다. 이의고등학교고1수학과외에서는 도형의 이동과 관련된 함수 문제에서 먼저 문제의 질문을 확인하고, 입력값과 출력값이 어떤 대응을 이루는지 살펴보는 풀이를 연습했다.
식 계산은 맞았지만 함수 판단에서 생긴 오류
오답노트를 재현하는 과정에서 한 학생은 함수식이 제시되자마자 숫자를 대입해 함수값부터 계산했다. 계산 결과 자체는 맞았지만, 문제에서 묻는 것은 단순한 함수값이 아니라 입력과 출력의 대응관계였다.
특히 같은 입력에 서로 다른 출력이 두 개 생기는 관계를 함수라고 판단했다. 최초 오류는 계산 과정이 아니라, 함수의 조건을 확인하지 않고 식 계산으로 바로 넘어간 지점이었다. 하나의 입력에 출력이 하나만 대응해야 한다는 조건과 문제의 관계를 연결하지 못하면서 최종 판단이 틀어졌다.
오답 최초 지점을 표로 확인하기
수정할 때는 입력값과 출력값을 다음처럼 표로 분리해 적게 했다.
- 입력값: 무엇을 넣는지 확인한다.
- 출력값: 입력에 따라 무엇이 정해지는지 적는다.
- 같은 입력에 출력이 몇 개 대응하는지 확인한다.
- 문제가 함수값 계산을 묻는지, 함수인지 판단하라고 묻는지 질문을 다시 읽는다.
표를 만든 뒤 같은 입력에 출력이 두 개라면 함수가 아니라는 점을 먼저 표시하고, 그다음 필요한 경우에만 식을 계산하게 했다. 이렇게 하자 식을 세우거나 대입하기 전에 조건과 구할 값을 구분하는 행동이 나타났다.
함수식 계산이 가능하다는 것과 주어진 대응관계가 함수라는 것은 별개의 판단이다.
도형의 이동 문제에 다시 적용한 과정
도형의 이동이 함수식과 함께 제시된 문제에서는 이동된 점의 좌표를 바로 계산하지 않고, 원래 입력이 무엇이며 이동 후 출력이 무엇인지 먼저 적었다. 이후 입력 하나에 출력 하나가 연결되는지 확인하고, 문제의 질문에 맞춰 식을 적용했다.
다음 날에는 숫자를 바꾼 문제와 대응관계를 바꾼 문제를 빈 종이에 다시 풀었다. 같은 입력에 출력이 하나만 주어진 경우에는 함수로 판단한 뒤 식을 계산했고, 같은 입력에 출력이 두 개 주어진 경우에는 계산 결과가 나오더라도 함수가 아니라고 구분했다.
현재 학교자료에서는 함수식 계산이 가능한 편이지만, 질문이 함수의 성립 여부로 바뀌거나 입력과 출력의 관계를 설명해야 할 때는 아직 흔들린다. 그래서 새 문제에서도 먼저 질문에 표시하고, 입력·출력 표 작성, 함수 조건 확인, 식 계산, 결과 검증의 순서로 풀이하게 했다.
이의고등학교 고1수학과외에서 확인한 변화
이전에는 함수식이 보이면 계산부터 시작했지만, 수정 후에는 문제 질문을 먼저 읽고 대응관계를 표로 옮긴다. 계산 결과가 맞더라도 같은 입력에 출력이 둘 생기는지 다시 확인하면서, 계산의 정답과 함수 판단의 정당성을 따로 검증하는 풀이로 바뀌었다.