끝점 하나가 달라진 부등식 풀이
경기창조고등학교 수학과외에서 먼저 살펴볼 장면은 심화문제를 풀던 중 범위의 경계값을 계산한 뒤 정답 구간의 끝점을 잘못 표시한 경우다. 식을 짧게 정리하는 과정 자체는 가능했지만, 마지막에 등호가 포함되는지 확인하지 않아 열린 점과 닫힌 점을 반대로 나타냈다. 계산 결과와 그래프가 거의 맞아 보였기 때문에 오답의 최초 지점이 풀이 중간이 아니라 마지막 표시 단계에 있었다는 사실도 바로 드러나지 않았다.
이 문제에서는 부등식의 양변을 변형할 때 등호가 유지되는지, 특정 값이 실제 조건을 만족하는지를 함께 확인해야 한다. 예를 들어 어떤 경계값을 구한 뒤에는 그 값을 원래 부등식에 대입해 참인지 확인하고, 참이면 등호를 포함한 점으로, 거짓이면 포함하지 않는 점으로 표시해야 한다. 그래프가 함께 제시된 경우에는 식에서 얻은 범위와 그래프의 음영 방향도 대조해야 한다.
짧은 풀이보다 먼저 정해야 할 것
여러 단원을 누적해 복습하는 문제에서는 막힌 심화문제를 처음부터 전개하려 하기보다, 주어진 조건 중 기본 조건 몇 개를 골라 미지수와 구해야 할 값을 먼저 정하는 과정이 필요하다. 경우 분류가 들어간 문제라면 식을 전부 전개하기 전에 ‘각 경우를 구분하기 위한 식인지’, ‘최종 범위를 구하기 위한 식인지’를 정한다. 목적이 분명하면 불필요한 전개와 계산을 줄이면서도 반드시 남겨야 할 등식이나 부등식은 보존할 수 있다.
현재는 기본문제에서 식을 세우고 풀이를 짧게 정리하는 능력이 있다. 다만 심화문제에서는 생략해도 되는 계산과 근거를 남겨야 하는 변형을 구분하는 기준이 흔들린다. 해설 없이 혼자 시작하면 이 차이가 더 커져, 식을 빠르게 줄이는 데 집중하다가 조건의 적용 범위나 등호 포함 여부를 확인하지 않게 된다.
오답을 같은 무게로 다루지 않기
반복해서 틀린 문제와 새롭게 틀린 문제를 모두 같은 방식으로 기록하면, 자주 되풀이되는 오류가 뒤로 밀릴 수 있다. 따라서 누적복습에서는 오답을 다음처럼 나누어 최초 오류를 표시한다.
- 조건을 식으로 옮기는 단계에서 생긴 오류
- 식 변형 중 부호나 등호를 바꾼 오류
- 경계값을 구한 뒤 범위에 포함할지 판단하지 않은 오류
- 그래프와 식을 서로 대조하지 않은 오류
이번 장면은 세 번째와 네 번째 항목에 해당한다. 풀이를 다시 쓸 때는 계산을 모두 길게 반복하기보다, 경계값을 원래 식에 대입하고 등호의 성립 여부를 문장으로 적는다. 이후 수직선이나 좌표평면에 해당 값을 표시해 식의 결과와 그래프가 일치하는지 확인한다.
변형문제에서 확인할 풀이 기준
같은 구조에서 숫자나 조건만 바꾼 문제를 다시 풀 때는 해설을 보지 않고 먼저 구해야 할 값과 식의 목적을 적는다. 풀이 중간에는 ‘이 등식은 무엇을 구하기 위해 바뀌었는가’, ‘이 부등식에서 등호는 유지되는가’를 짧게 표시한다. 마지막에는 경계값을 원래 조건에 대입하고 그래프의 끝점 모양까지 확인한다.
이 과정을 거치면 풀이를 짧게 만드는 것과 근거를 생략하는 것을 구분할 수 있다. 경기창조고등학교 수학과외에서도 중요한 변화는 풀이 줄 수가 줄어드는 데 있지 않고, 끝점에서 등호 포함 여부를 스스로 확인하고 식과 그래프가 어긋날 때 최초 오류 지점을 되짚는 행동으로 나타난다.