분모가 바뀐 이유를 설명하지 못한 확률 풀이
광덕고등학교 수학과외에서 먼저 확인한 장면은 확률 문제의 계산 결과보다 풀이가 시작되는 순서였다. 기본문제를 연속해서 풀 때는 여러 미지수를 두면 정리가 쉬울 것이라 생각해 필요한 값보다 많은 변수를 설정했고, 확률 문제에서는 전체 경우를 먼저 정리하지 않은 채 상황마다 다른 분모를 섞어 사용했다.
예를 들어 전체 경우가 12가지인 문제에서 특정 조건이 붙은 뒤 가능한 경우가 5가지로 줄어든다면, 조건부로 구하는 확률의 분모는 5가 되어야 한다. 그런데 문제를 읽으며 전체 경우 12와 조건이 적용된 경우 5를 번갈아 사용하면 식의 모양은 그럴듯해도 분모가 왜 달라졌는지 설명할 수 없게 된다. 이때 오답은 단순한 계산실수가 아니라 ‘지금 어떤 경우를 전체로 보고 있는가’를 정하지 않은 데서 시작된다.
조건을 식에 넣기 전에 경우의 범위를 고정하기
이 학생은 시험 초반에는 풀이순서를 비교적 잘 유지한다. 하지만 시험 후반으로 갈수록 조건 표시와 검산이 짧아지고, 문제에 나온 조건을 어느 단계에서 사용했는지 확인하지 않은 채 다음 계산으로 넘어간다. 특히 여러 조건이 붙은 내신 변형문제에서는 처음 정한 전체 경우와 이후 제한된 경우를 구분하는 과정이 흔들렸다.
따라서 문제를 풀 때 먼저 구하려는 확률의 기준이 되는 집합을 한 줄로 적는다. 전체 경우를 세는 단계라면 가능한 경우를 표나 간단한 목록으로 정리하고, 조건이 추가되면 그 조건으로 남은 경우만 따로 표시한다. 이후 분자와 분모 옆에 각각 ‘조건 전’ 또는 ‘조건 후’라고 남겨 두면 서로 다른 범위를 섞는 일이 줄어든다.
확률식을 쓰기 전에 분모가 나타내는 전체 경우를 말로 설명할 수 있어야 한다.
미지수를 늘리는 대신 필요한 관계만 남기기
기본문제에서 변수를 많이 설정하는 습관도 확률 풀이를 복잡하게 만드는 요인이었다. 변수의 수가 늘어나면 조건마다 어떤 식에 반영했는지 추적하기 어려워지고, 계산 중 일부 조건이 남아도 이를 알아차리기 힘들다. 미지수는 문제에서 직접 구해야 하는 값이나 서로 다른 관계를 표현하는 데 필요한 만큼만 정하고, 나머지는 경우의 수나 표로 처리하는 편이 적절하다.
내신 변형문제를 풀 때는 교과서 예제와 숫자만 비교하지 않고 풀이의 기준을 비교한다. 같은 확률 개념을 사용하더라도 전체 경우를 먼저 세는 문제인지, 특정 조건 뒤의 경우만 세는 문제인지 구분해야 한다. 두 풀이를 나란히 놓고 ‘분모가 의미하는 범위’, ‘조건을 사용한 단계’, ‘마지막 검산 방법’을 표시하면 문제 형식이 달라져도 접근 순서를 재현하기 쉬워진다.
시험 후반에도 남겨야 할 최소 표시
광덕고등학교수학과외에서는 시험 직전 새 문제를 계속 추가하기보다 반복해서 틀린 확률 문제를 다시 재현하는 데 초점을 둔다. 처음에는 해설을 가리고, 문제의 조건마다 번호를 붙인 뒤 그 조건을 사용한 식 옆에 같은 번호를 적는다. 풀이가 끝나면 사용하지 않은 조건이 남아 있는지, 분자와 분모가 같은 기준에서 세어졌는지 확인한다.
시간이 부족한 후반에는 긴 검산 대신 세 가지 표시만 유지한다. 전체 경우를 적었는지, 조건 적용 후 경우를 따로 구했는지, 최종 확률이 0과 1 사이에 있는지 확인하는 방식이다. 이후 숫자나 조건을 바꾼 문제를 다시 풀었을 때도 분모를 먼저 정하고, 여러 변수를 무리하게 세우지 않으며, 각 조건이 실제 어느 단계에 반영됐는지를 스스로 표시하는 변화가 나타난다.